FFT快速傅立叶变换

//最近突然发现博客园支持\(\rm\LaTeX\)，非常高兴啊！

话说离省选只有不到五天了还在学新东西确实有点逗……

切到正题，FFT还是非常神奇的一个东西，能够反直觉地把两个多项式相乘的时间复杂度降到\(O(n \log n)\)。

首先，多项式的表示方法有两种：

　　第一种是系数表示法\(\sum_{i=0}^{n-1}a_i x^i\)，就是正常的表达一个多项式的办法。

　　第二种比较神奇，是点值表示法，就是用\(n\)个点\((x_i,y_i)\)来表示一个多项式，也就是用两个列向量\(x\)和\(y\)来表示一个多项式。

将两个多项式表示成系数表示法直接相乘需要\(O(n^2)\)的时间，而将两个用点值表示法的多项式相乘却只用\(O(n)\)的时间（将两个多项式的\(y\)向量的每一维分别相乘即可）。

而FFT干的事情就是在\(O(n\log n)\)的时间内将多项式从系数表示法转化成点值表示法，或者是将点值表示法转化为系数表示法。

从直觉上看，列向量\(x\)的每一维的随便乱取显然是不靠谱的，为了保证优越的复杂度，我们引入一个神奇的工具——单位复根。

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P.S. 省选居然能考到这种鬼东西！运气真是太好了！