[LOJ6179]Pyh的求和

首先有一个等式是$\varphi(ab)=\frac{\varphi(a)\varphi(b)d}{\varphi(d)}$，其中$d=(a,b)$，这个比较好证，直接按展开式计算可得$\varphi(ab)\varphi(d)=\varphi(a)\varphi(b)d$（等号两边$d$的质因子都出现了两次）

然后推式子，得到$\sum\limits_{T=1}^nf(T)g\left(\left\lfloor\frac nT\right\rfloor,T\right)g\left(\left\lfloor\frac mT\right\rfloor,T\right)$，其中$f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu\left(\frac nd\right)\frac d{\varphi(d)},g(n,k)=\sum\limits_{i=1}^n\varphi(ik)$

$f$可以枚举$d$更新倍数预处理，关键在于快速求$g$

我们先对每个$k$预处理$g\left(1\cdots\left\lfloor\frac nk\right\rfloor,k\right)$，这是$O(n\log n)$的

用分段的思想，设一个阈值$C$，对于$\leq\frac nC$的$T$用预处理好的$g$暴力求值，若$T\gt\frac nC$，这时$\left\lfloor\frac nT\right\rfloor\leq C$，我们再预处理$h_{i,j,k}=f(k)\sum\limits_{t=1}^i\varphi(tk)\sum\limits_{t=1}^j\varphi(tk)$，用$h$还有根号分段算剩下的部分

#include<stdio.h>
typedef long long ll;
const int mod=998244353,T=100000,C=30;
void swap(int&a,int&b){a^=b^=a^=b;}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
void inc(int&a,int b){(a+=b)%=mod;}
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int pr[T+10],phi[T+10],mu[T+10];
bool np[T+10];
void sieve(){
	int i,j,M=0;
	phi[1]=1;
	mu[1]=1;
	for(i=2;i<=T;i++){
		if(!np[i]){
			pr[++M]=i;
			phi[i]=i-1;
			mu[i]=-1;
		}
		for(j=1;j<=M&&i*pr[j]<=T;j++){
			np[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0){
				phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
				break;
			}
			phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
			mu[i*pr[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
int f[T+10],*g[T+10],*h[40][40];
int get(int n,int m){
	if(n>m)swap(n,m);
	int i,nex,s;
	s=0;
	for(i=1;i<=min(T/C,n);i++)inc(s,mul(f[i],mul(g[i][n/i],g[i][m/i])));
	for(;i<=n;i=nex+1){
		nex=min(n/(n/i),m/(m/i));
		inc(s,de(h[n/i][m/i][nex-T/C],h[n/i][m/i][i-1-T/C]));
	}
	return ad(s,mod);
}
int main(){
	sieve();
	int i,j,k,t,x,y,cas,n,m;
	for(i=1;i<=T;i++){
		t=mul(i,pow(phi[i],mod-2));
		for(j=i;j<=T;j+=i)inc(f[j],mul(mu[j/i],t));
	}
	for(j=1;j<=T;j++){
		g[j]=new int[T/j+1];
		g[j][0]=0;
		for(i=1;i<=T/j;i++)g[j][i]=ad(g[j][i-1],phi[i*j]);
	}
	for(i=1;i<=C;i++){
		for(j=1;j<=C;j++){
			h[i][j]=new int[min(T/i,T/j)-T/C+2];
			h[i][j][0]=0;
		}
	}
	for(k=T/C+1;k<=T;k++){
		x=0;
		t=k-T/C;
		for(i=1;i<=T/k;i++){
			inc(x,phi[i*k]);
			y=0;
			for(j=1;j<=T/k;j++){
				inc(y,phi[j*k]);
				h[i][j][t]=ad(h[i][j][t-1],mul(mul(x,y),f[k]));
			}
		}
	}
	scanf("%d",&cas);
	while(cas--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%d\n",get(n,m));
	}
}