【bzoj3132】上帝造题的七分钟 二维树状数组区间修改区间查询

题目描述

“第一分钟，X说，要有矩阵，于是便有了一个里面写满了0的n×m矩阵。

第二分钟，L说，要能修改，于是便有了将左上角为(a,b)，右下角为(c,d)的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。

第三分钟，k说，要能查询，于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。

第四分钟，彩虹喵说，要基于二叉树的数据结构，于是便有了数据范围。

第五分钟，和雪说，要有耐心，于是便有了时间限制。

第六分钟，吃钢琴男说，要省点事，于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。

第七分钟，这道题终于造完了，然而，造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”

——《上帝造裸题的七分钟》

所以这个神圣的任务就交给你了。

输入

输入数据的第一行为X n m，代表矩阵大小为n×m。

从输入数据的第二行开始到文件尾的每一行会出现以下两种操作：

L a b c d delta —— 代表将(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内的所有数字加上delta。

k a b c d　　 —— 代表求(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内所有数字的和。

请注意，k为小写。

输出

针对每个k操作，在单独的一行输出答案。

样例输入

X 4 4
L 1 1 3 3 2
L 2 2 4 4 1
k 2 2 3 3

样例输出

12

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题解

二维树状数组区间修改区间查询

头一次知道树状数组还能实现区间修改区间查询~

我们先考虑一维的情况：树状数组的本质是$O(\log n)$维护前缀和，前缀相减可以得到区间和。

而又有一种区间修改单点查询的方法：差分。

设$d[i]=a[i]-a[i-1]$，那么$a[i]=(a[i]-a[i-1])+(a[i-1]-a[i-2])+...+(a[1]-a[0])=\sum\limits_{i=1}^nd[i]$，于是可以按照相同的方法维护差分数组的前缀和，修改的时候直接将l加上，r+1减去即可。

那么对于区间查询呢？我们还是引入差分的思想，则$\sum\limits_{i=1}^na[i]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^id[j]=\sum\limits_{j=1}^n(n+1-j)d[j]=(n+1)\sum\limits_{j=1}^nd[j]-\sum\limits_{j=1}^nj·d[j]$。所以维护两个树状数组，一个维护d[j]的前缀和，一个维护j*d[j]的前缀和就可以了。

那么对于本题变成二维的呢？其实也是一样的。

还是使用差分的方法，$a[n][m]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md[i][j]$，$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ma[i][j]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^i\sum\limits_{l=1}^jd[k][l]=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{l=1}^m(n+1-k)(m+1-l)d[k][l]$。

展开什么的，自己动手丰衣足食

然后开4个树状数组即可。修改和查询时使用容斥原理拆成4段来完成。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 2055
using namespace std;
int n , m;
char str[5];
struct data
{
	int f[N][N];
	void update(int x , int y , int a)
	{
		int i , j;
		for(i = x ; i <= n ; i += i & -i)
			for(j = y ; j <= m ; j += j & -j)
				f[i][j] += a;
	}
	int query(int x , int y)
	{
		int i , j , ans = 0;
		for(i = x ; i ; i -= i & -i)
			for(j = y ; j ; j -= j & -j)
				ans += f[i][j];
		return ans;
	}
}A , B , C , D;
void modify(int x , int y , int z)
{
	A.update(x , y , z) , B.update(x , y , x * z) , C.update(x , y , y * z) , D.update(x , y , x * y * z);
}
int solve(int x , int y)
{
	return (x + 1) * (y + 1) * A.query(x , y) - (y + 1) * B.query(x , y) - (x + 1) * C.query(x , y) + D.query(x , y);
}
int main()
{
	int x1 , y1 , x2 , y2 , z;
	scanf("%*s%d%d" , &n , &m);
	while(~scanf("%s%d%d%d%d" , str , &x1 , &y1 , &x2 , &y2))
	{
		if(str[0] == 'L')
		{
			scanf("%d" , &z) , x2 ++ , y2 ++ ;
			modify(x1 , y1 , z) , modify(x2 , y1 , -z) , modify(x1 , y2 , -z) , modify(x2 , y2 , z);
		}
		else x1 -- , y1 -- , printf("%d\n" , solve(x1 , y1) - solve(x2 , y1) - solve(x1 , y2) + solve(x2 , y2));
	}
	return 0;
}