有标号的DAG计数（FFT）

有标号的DAG计数系列

有标号的DAG计数I

题意

给定一正整数\(n\)，对\(n\)个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案\(mod \ 10007\)的结果。\(n\le 5000\)

题解

显然是\(O(n^2)\)来做。

设\(f(i)\)表示\(i\)个点有标号的有向无环图的个数。而\(DAG\)中的特殊点显然只有两种，要么是出度为\(0\)，要么入度为\(0\)。随便枚举哪一种都行，这里枚举入度为\(0\)的点。

那么得到式子：

\[f(n)=\sum_{i=1}^nC_n^if(n-i)2^{i(n-i)}
\]

显然这样子枚举出来的并不是入度个数恰好为枚举个数的答案，所以需要容斥，也就是：

\[f(i)=\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}C_i^jf(i-j)2^{j(i-j)}
\]

\(O(n^2)\)暴力\(dp\)即可。

有标号的DAG计数II

题意

给定一正整数\(n\)，对\(n\)个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案\(mod \ 998244353\)的结果。\(n\le 10^5\)

题解

推导同上题式子。考虑接着拆。

首先把\(2^{j(i-j)}\)给拆了，\(j(i-j)=i^2/2-j^2/2-(i-j)^2/2\)

这样子令\(t=\sqrt 2\)，也就是\(2\)在模意义下的二次剩余。

接着拆式子：

\[\begin{aligned}
f(i)&=\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}C_i^jf(i-j)2^{j(i-j)}\\
&=\sum_{j=1}^n(-1)^{j-1}\frac{i!}{j!(i-j)!}f(i-j)t^{i^2-j^2-(i-j)^2}\\
&=\sum_{j=1}^n \frac{(-1)^{j-1}}{j!t^{j^2}}*\frac{f(i-j)}{(i-j)!t^{(i-j)^2}}*i!*t^{i^2}\\
\frac{f(i)}{i!t^{i^2}}&=\sum_{j=1}^n \frac{(-1)^{j-1}}{j!t^{j^2}}*\frac{f(i-j)}{(i-j)!t^{(i-j)^2}}
\end{aligned}
\]

令\(F(x)\)为\(\frac{f(i)}{i!t^{i^2}}\)的生成函数，\(G(x)\)为\(\frac{(-1)^{i-1}}{i!t^{i^2}}\)的生成函数，那么上面的等式写成：\(F(x)=G(x)F(x)+1\)，因为卷积之后漏掉了\(F(0)\)。

那么解出\(F(x)=\frac{1}{1-G(x)}\)，多项式求逆即可。

有标号的DAG计数III

题意

给定一正整数\(n\)，对\(n\)个点有标号的有向无环图进行计数，这里加一个限制：此图必须是弱连通图。输出答案\(mod\ 10007\)的结果。\(n\le 5000\)

题解

又回到了一个\(O(n^2)\)的做法。设答案为\(g(i)\)。那么考虑这里和前面的区别在哪儿？这里要求弱连通。那么连通和不连通的考虑方法一般就是总数减去不合法，那么考虑什么东西是不合法的。

\[g(i)=f(i)-\sum_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}g(j)f(i-j)
\]

为啥呢？因为一旦不是弱连通了，那么必定有两个以上的联通块。我们枚举其中的一个包含\(1\)号点的联通块大小，那么这个方案数是\(g(j)\)，而其他点随意构成\(DAG\)，这样就是上述的式子了。

所以把\(I\)的代码蒯过来再加一个\(dp\)算\(g\)就好了。

有标号的DAG计数IV

题意

给定一正整数\(n\)，对\(n\)个点有标号的有向无环图进行计数，这里加一个限制：此图必须是弱连通图。输出答案\(mod\ 998244353\)的结果。

题解

拆式子啊QwQ。

\[\begin{aligned}
g(i)&=f(i)-\sum_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}g(j)f(i-j)\\
&=f(i)-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}g(j)f(i-j)\\
\frac{g(i)}{(i-1)!}&=\frac{f(i)}{(i-1)!}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g(j)}{(j-1)!}\frac{f(i-j)}{(i-j)!}
\end{aligned}
\]

这样子可以构建三个生成函数

\(G(x)=\sum \frac{g(i)}{(i-1)!}x^i\)，\(F(x)=\sum \frac{f(i)}{(i-1)!}x^i\)，\(H(x)=\sum \frac{f(i)}{i!}x^i\)。其中\(\sum\)都表示\(\sum_{i=1}^{\infty}\)。

卷积一下就是\(G(x)=F(x)-G(x)*H(x)\)。

化简一下就是\(G(x)=\frac{F(x)}{1+H(x)}\)。

多项式求逆即可。

I

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 10007
#define MAX 5050
int n,f[MAX],bin[MAX*MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);f[0]=jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=bin[0]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=1;i<=n*n;++i)bin[i]=2*bin[i-1]%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
		{
			int tmp=C(i,j)*f[i-j]%MOD*bin[j*(i-j)]%MOD;
			if(j&1)add(f[i],tmp);else add(f[i],MOD-tmp);
		}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

II

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define REM 882049182
#define MAX 300000
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int r[MAX],W[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int N)
{
	int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
	if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
	Inv(a,b,len>>1);
	for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
	NTT(A,-1,len<<1);
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=B[i]=0;
}
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int N,n,F[MAX],G[MAX];
int main()
{
	scanf("%d",&n);jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(N=1;N<=n;N<<=1);G[0]=1;int t=fpow(REM,MOD-2);
	for(int i=1;i<N;++i)G[i]=1ll*jv[i]*fpow(t,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
	for(int i=1;i<N;++i)if(i&1)G[i]=MOD-G[i];
	Inv(G,F,N);
	printf("%lld\n",1ll*F[n]*jc[n]%MOD*fpow(REM,1ll*n*n%(MOD-1))%MOD);
	return 0;
}

III

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 10007
#define MAX 5050
int n,f[MAX],g[MAX],bin[MAX*MAX],jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);f[0]=jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=bin[0]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=1;i<=n*n;++i)bin[i]=2*bin[i-1]%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=i;++j)
		{
			int tmp=C(i,j)*f[i-j]%MOD*bin[j*(i-j)]%MOD;
			if(j&1)add(f[i],tmp);else add(f[i],MOD-tmp);
		}
	for(int i=0;i<=n;++i)g[i]=f[i];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<i;++j)
			add(g[i],MOD-C(i-1,j-1)*g[j]%MOD*f[i-j]%MOD);
	printf("%d\n",g[n]);
	return 0;
}

IV

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define REM 882049182
#define MAX 300000
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int r[MAX],W[MAX];
void NTT(int *P,int opt,int N)
{
	int l=0;for(int i=1;i<N;i<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int w=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));W[0]=1;
		for(int k=1;k<i;++k)W[k]=1ll*W[k-1]*w%MOD;
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
			for(int k=0;k<i;++k)
			{
				int X=P[j+k],Y=1ll*W[k]*P[i+j+k]%MOD;
				P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X+MOD-Y)%MOD;
			}
	}
	if(opt==-1)
	{
		reverse(&P[1],&P[N]);
		for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
	}
}
int A[MAX],B[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
	if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
	Inv(a,b,len>>1);
	for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,len<<1);NTT(B,1,len<<1);
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
	NTT(A,-1,len<<1);
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
	for(int i=0;i<len<<1;++i)A[i]=B[i]=0;
}
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int N,n,F[MAX],G[MAX],H[MAX],P[MAX];
int main()
{
	scanf("%d",&n);jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(N=1;N<=n;N<<=1);G[0]=1;int t=fpow(REM,MOD-2);
	for(int i=1;i<N;++i)G[i]=1ll*jv[i]*fpow(t,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
	for(int i=1;i<N;++i)if(i&1)G[i]=MOD-G[i];
	Inv(G,F,N);
	for(int i=1;i<N;++i)F[i]=1ll*F[i]*jc[i]%MOD*fpow(REM,1ll*i*i%(MOD-1))%MOD;
	for(int i=1;i<N;++i)H[i]=1ll*F[i]*jv[i]%MOD;H[0]=1;
	for(int i=1;i<N;++i)F[i]=1ll*F[i]*jv[i-1]%MOD;F[0]=0;
	Inv(H,P,N);
	NTT(F,1,N<<1);NTT(P,1,N<<1);
	for(int i=0;i<N<<1;++i)G[i]=1ll*F[i]*P[i]%MOD;
	NTT(G,-1,N<<1);
	printf("%lld\n",1ll*G[n]*jc[n-1]%MOD);
	return 0;
}