POJ1185 状压dp(二进制//三进制）解法

很显然这是一道状压dp的题目

由于每个最优子结构和前两行有关，一个显而易见的想法是用三维dp[i][j][k]用来记录在第i行下为j状态，i - 1行为k状态时的最大值，然而dp[100][1 << 11][1 << 11]显然是要MLE的，我们可以想到用滚动数组优化，事实上确实可以用滚动数组优化。然而 在时间复杂度上 100 * 1024 * 1024 * 1024也是一个不可能补TLE的数字，一个不那么显然的办法是预处理出所有可行的状态，经过看题解或者写个暴力炸一下之后可以知道这些状态并不超过70，也就是说时间复杂度可以优化到100 * 70^3,这就看起来很合情合理了，数组也不用上滚动数组直接跑就好了。

剩下的就是实现的问题了。

用一个state数组预处理出所有的合法状态（在不考虑高地不高地的情况下）

用一个base数组预处理出所有高地的状态（高地为1，平地为0）当state中的状态 & 上base中的状态不为0时，代表有一个小兵站在了高地上，这是不被允许的，就要跳过这个状态。

用一个solider数组预处理出所有合法状态下的小兵数目，左右是省的每次都计算一下有几个小兵，不但让这个程序跑起来很快，也让我们看起来很帅。

附上这个解决方法的代码。

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
#define For(i, x, y) for(int i=x; i<=y; i++)
#define _For(i, x, y) for(int i=x; i>=y; i--)
#define Mem(f, x) memset(f, x, sizeof(f))
#define Sca(x) scanf("%d", &x)
#define Scl(x) scanf("%lld",&x);
#define Pri(x) printf("%d\n", x)
#define Prl(x) printf("%lld\n",x);
#define CLR(u) for(int i = 0; i <= N ; i ++) u[i].clear();
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define mp make_pair
#define PII pair<int,int>
#define PIL pair<int,long long>
#define PLL pair<long long,long long>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef vector<int> VI;
const double eps = 1e-;
const int maxn = ;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + ;
inline int read()
{
    int now=;register char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);now=now*+c-'',c=getchar());
    return now;
}
int N,M;
char MAP[maxn][];
int state[maxn];          //所有合法状态
LL dp[][maxn][maxn];   //在i行第j状态以及i- 1行第k状态下的最大值
LL solider[maxn];  //在这个状态下的士兵
int base[maxn];    // 原地图的的第i个原状态
int cnt;          //合法状态的数目
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        Mem(base,); Mem(solider,); Mem(state,); Mem(dp,);
        cnt = ;
        For(i,,N){
            scanf("%s",&MAP[i]);
        //    cout << MAP[i] << endl;
            for(int j = ; j < M ; j ++){
                if(MAP[i][j] == 'H') base[i] +=  << j;
            }
        }
        for(int i =  ; i <  << M; i ++){
            if((i & (i << )) || (i & (i << ))) continue;
            state[++cnt] = i;
            int k = i;
            while(k){
                solider[cnt] += k & ;
                k >>= ;
            }
        }
        For(i,,cnt){
        //    cout << solider[i] << endl;
            if(base[] & state[i]) continue;
            dp[][i][] = solider[i];
        }
        For(i,,cnt){
            if(base[] & state[i]) continue;
            For(j,,cnt){
                if(base[] & state[j] || state[i] & state[j]) continue;
                dp[][i][j] = max(dp[][j][] + solider[i],dp[][i][j]);
            }
        }
        For(i,,N){
            For(j,,cnt){
                if(base[i] & state[j]) continue;
                For(k,,cnt){
                    if(base[i - ] & state[k] || state[j] & state[k]) continue;
                    For(p,,cnt){
                        if(base[i - ] & state[p] || state[p] & state[k] || state[j] & state[p]) continue;
                        dp[i & ][j][k] = max(dp[i & ][j][k],dp[i +  & ][k][p] + solider[j]);
                    }
                }
            }
        }
        LL MAX = ;
        For(i,,cnt){
            For(j,,cnt){
                MAX = max(MAX,dp[N & ][i][j]);
            }
        }
        Prl(MAX);
    }
    return ;
}

事实上除了以上这种巧妙地方法之外，我们依然有更暴力但是却更难写的方法，就是将二进制状态压缩改为三进制的状态压缩。

我们假设在放置一个小兵之后会产生一个“缓冲带”，导致下面的这个状态变为2，下下面的状态变为1，再下面变回0，意味着缓冲区结束，这里可以继续放置小兵。但是仔细一想发现这样构成的状态并不是那么好写状态转移方程，我们从记忆话搜索里得到灵感，考虑直接dfs暴搜。

由于经过了状态压缩，dfs的状态转移并不那么困难，我们用一个整数cur来表示此时的状态，用一个next来表示下一行的状态，

每次的转移主要是横向的转移，当到了行末尾的时候转移到下一行，此时cur的值变为next，next的值变为0，到最后一行时开始返回，更新回答案。

像这样的状态表示比较复杂，冗余的不合法状态较多的题目，不一定要写出确切的状态转移方程，而用dfs也可以很好的解决问题，不过在这题上的效率并不是很理想，上面的400ms，这个1600ms，主要提供遇到问题的解决思路。

#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
#define For(i, x, y) for(int i=x; i<=y; i++)
#define _For(i, x, y) for(int i=x; i>=y; i--)
#define Mem(f, x) memset(f, x, sizeof(f))
#define Sca(x) scanf("%d", &x)
#define Scl(x) scanf("%lld",&x);
#define Pri(x) printf("%d\n", x)
#define Prl(x) printf("%lld\n",x);
#define CLR(u) for(int i = 0; i <= N ; i ++) u[i].clear();
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define mp make_pair
#define PII pair<int,int>
#define PIL pair<int,long long>
#define PLL pair<long long,long long>
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef vector<int> VI;
const double eps = 1e-;
const int maxn = ;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + ;
inline int read()
{
    int now=;register char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);now=now*+c-'',c=getchar());
    return now;
}
int N,M;
int dp[maxn][];
char MAP[maxn][];
int power[]={,,,,,,,,,};
int getbit(int i,int pos){
    if(pos == ) return i % ;
    if(pos >= M) return ;
    if(i >= power[pos]){
        return (i / power[pos]) % ;
    }
    return ;
}
//x,y为横纵坐标，cur为上两行的状态，next为下一状态，cnt为记录x行已放置的
void dfs(int x,int y,int cur,int next,int cnt)
{
    if(!y){    //刚进入当前行
        if(dp[x][cur] != -) return;
        dp[x][cur] = ;
    }
    if(y >= M){  //已经到行末尾
        if(x < N - ){
            dfs(x + ,,next,,);   //转变为下一行，下一行状态转变为当前状态，下一行状态初始化为0
            dp[x][cur] = max(dp[x][cur],cnt + dp[x + ][next]);  //从上一个状态更新这个状态
        }else{
            dp[x][cur] = max(dp[x][cur],cnt);  //由于没有下一个状态，这个状态的最大值就是他自己
        }
        return;
    }
    int i = getbit(cur,y);    //这个点的值
    if(!i && MAP[x][y] == 'P'){        //这个点可放小兵
        int j =  * power[y],k;       //在这个点放了小兵之后next要增加的值，也就是下边增加一个2
        k = getbit(cur,y + );
        if(k == ){                   //由于这个点的右边上面刚放过一个小兵，右边要增加1
            j += power[y + ];
        }
        k = getbit(cur,y + );       //同理这个点右边的右边的上面放过一个小兵
        if(k == ){
            j += power[y + ];
        }
        dfs(x,y + ,cur,next + j,cnt + );     //这个点放了小兵
        dfs(x,y + ,cur,next,cnt);             //这个点不放小兵
        return;
    }
    if(i == ) dfs(x,y + ,cur,next + power[y],cnt);   //下面为1
    else dfs(x,y + ,cur,next,cnt);           //下面为0
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        for(int i = ; i < N ; i ++){
            scanf("%s",MAP[i]);
        }
        Mem(dp,-);
        dfs(,,,,);
        Pri(dp[][]);
    }
    return ;
}