2017-11-03 Fr OCT 球体积的导数为球表面积

上学期学立体几何时注意到这一点。去问林老师，没听明白（写完笔记后发现林老师讲得是对的，惭愧）。今天下午考历史的时候突然想起来。

除了球体积的导数为球表面积外，还注意到圆体积的导数为圆周长。今天中午看wiki时又发现环面的内部体积的导数为它的表面积。即：

(a) $ \pi r^2 = 2 \pi r $

(b) $ (\frac{4}{3}\pi r^3)' = 4\pi r^2 $

(c) $ ( (\pi r^2) 2 \pi R )' = ( (2 \pi r) 2 \pi R) $

(a) $ \pi r^2 = 2 \pi r $

1. 百度一下，查到一篇文章：

2012年第1O期 中学数学研究 P39
为什么圆面积的导数是周长，而正方形不是?
江苏省东台市安丰中学 (224221) 崔志荣

首先，让我们先来看圆面积 \(S(r) = \pi r^2\) 的导数，运用导数的定义有 \(S'(r) = \lim_{\Delta d \to 0}\frac{S(r+\Delta d) - S(r)}{\Delta d}\)

其中$ S(r+\Delta d) - S(r) $ 是圆环的面积。把圆环剪下来拉直，由于\(Delta d \to 0\)，就成了一个矩形。矩形长为圆的周长，宽为\(\Delta d\)。所以圆环“矩形”的面积除以圆环“矩形”的宽（\(\frac{S(r+\Delta d) - S(r)}{\Delta d}\)）就得到圆环“矩形”的长，即圆的周长。

1. 再查一下，又发现一些观点：

在形式上：球的体积的导数 = 球的表面
圆的面积的导数 = 圆的周长
圆的周长的导数 = 整个圆的圆周角
在意义上：球的体积的导数 ≠ 球的表面
圆的面积的导数 ≠ 圆的周长
圆的周长的导数 ≠ 整个圆的圆周角
【形式上的巧合只是偶然的,意义上不同是必然的】
因为圆是最特别的图形：
圆的周长 = ∑小扇形的弧长
= ∑圆的半径×小扇形的弧度
= ∑圆的半径×Δθ
= R∑Δθ
= 2πR
=∫Rdθ
= 2πR
圆的面积 = ∑小圆环的周长×小圆环的宽度
= ∑2πr×Δr
=∫2πrdr
= πR²
球的体积 = ∑小球壳的面积×小球壳的厚度
= ∑4πr²×Δr
=∫4πr²dr
= 4πR³/3
如果球体的半径在变,对半径的求导的意义是：
【半径每变化一个单位所引起的球体体积大小的变化】
它在大小的量值上正好等于球表面的面积.
圆的面积、周长的解释完全类似.

结论：半径变化时，圆的面积变化为圆环的面积，恰好为圆环的周长，即圆的周长。

(b) $ \pi r^2 = 2 \pi r $

一个半径为(r+dr)的球体体积V(r+dr) 与一个半径为r的球体体积V(r) 之差等于一个半径为r、厚度为dr的球壳的体积,即
V(r+dr)-V(r) = (4(pi)r^2) * dr
dV/dr = 4(pi)r^2
同理,圆面积对半径的导数等于圆周长.

类比(a)中的圆环-圆关系，这里球壳-球也类似。

注：算一个极薄的球壳的体积，把极薄球壳展开成平面，忽略内外表面面积差，球表面积乘以球壳厚度。即：

\[ \begin{align} V &= \frac{4}{3} \pi r^3 - \frac{4}{3} \pi (r - \Delta r)^3 \\
&= \frac{4}{3} \pi (r^3 - (r^3 - \Delta r^3 - 3 r^2 \Delta r + 3 r \Delta r^2)) \\
&= \frac{4}{3} \pi (\Delta r^3 + 3 r^2 \Delta r - 3 r \Delta r^2) \\
&\sim \frac{4}{3} \pi (3 r^2 \Delta r) \\
&= 4 \pi r^2 \Delta r \\
&= S \Delta r
\end{align} \]

（高次方\(\Delta r^2, \Delta r^3\)忽略）

(c) $ ( (\pi r^2) 2 \pi R )' = ( (2 \pi r) 2 \pi R) $

对环面不熟。环面的生成圆是圆，则应该与 (a) $ \pi r^2 = 2 \pi r $ 有关。以后再说。

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Fr OCT 03/11/2017
10:57 PM
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