调和级数发散率证明|欧拉常数|ln n+gamma+varepsilon_k证明|sigma(1/i)

最近在做一个 练习 ，然后看到了 调和级数 这个东西，说实话这东西谁能在考场上想到，平日还是要多积累。

开门见山

但是我们今天只证这个东西：

\[\sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{n}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n
\]

其中 \(\gamma\) gamma 是欧拉常数（约等于0.57721566490153286060651209，关于欧拉常数，我找时间补上），\(\varepsilon_n\) varepsilon 约等于 \(\frac{1}{2n}\) 。\(\varepsilon_n\) 是一个误差项，用来表示误差的大小或者近似的偏差。在这个等式中，\(\varepsilon_n\) 可以表示该和式与其近似值 \(\ln n + \gamma\) 之间的误差。具体的值会根据近似方法和逼近程度而有所不同。

好了，要怎么证明呢？

证明

要证明公式 \(\sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{i}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\) ，我们可以使用数学归纳法。

首先，我们先验证当 n = 1 时，公式是否成立。当 n = 1 时，数列中只有一个数 \(\frac{1}{1} = 1\) 。我们将这个数代入公式的左边，得到 \(\sum^{1}_{i = 1} \frac{1}{i} = 1\) ，然后代入公式的右边，得到 \(\ln 1 + \gamma + \varepsilon_1\) 。

\(\ln 1\) 等于 0，再加上常数 \(\gamma\) 和误差项 \(\varepsilon_1\) ，所以公式右边也等于 1。因此，当 n = 1 时，公式两边相等。

然后，我们要假设当 n = k 时，公式成立。也就是假设 \(\sum^{k}_{i = 1} \frac{1}{i} = \ln k + \gamma + \varepsilon_k\) 。

接下来，我们要证明当 n = k+1 时，公式也成立。也就是证明 \(\sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{i} = \ln (k+1) + \gamma + \varepsilon_{k+1}\) 。

当 n = k+1 时，我们有：

\(\sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{i} = \sum^{k+1}_{i = 1} \frac{1}{i} + \frac{1}{k+1}\)

现在，我们可以使用之前的假设，将右边的公式展开，得到 \(\ln k + \gamma + \varepsilon_k + \frac{1}{k+1}\) 。

我们知道 \(\ln(n+1) = \ln n + \ln(1 + \frac{1}{n})\)。

证明 $\ln(n+1) = \ln n + \ln(1 + \frac{1}{n})$

\[\begin{aligned}
\ln n + \ln(1 + \frac{1}{n}) &= \ln n + \ln(\frac{n + 1}{n}) \\
&= \ln n + \ln(n+1) - \ln n \\
&= \ln (n+1)
\end{aligned}
\]

证明 $\ln(\frac{n + 1}{n}) = \ln(n+1) - \ln n$

一般的，$\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$

我们设 \(x = \ln a\)，\(y = \ln b\)，那么根据对数的定义有：\(a = e^x\)，\(b = e^y\)

显然有：\(\frac{a}{b}=e^{x-y}\)

即：\(\ln \frac{a}{b} = x - y = \ln a - \ln b\)

利用泰勒级数展开 \(\ln(1 + x)\)，我们得到：

\(\ln(1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} - \cdots = \varepsilon_{n+1}\)

其中 \(\varepsilon_{n+1}\) 表示一个无穷小量，当 \(n \rightarrow \infty\) 时，无穷小量趋近于 0。

将上述结果代入到等式中，我们有：

\(\sum^{n+1}_{i = 1} \frac{1}{i} = \ln n+\gamma+\varepsilon_n + \frac{1}{n+1} = \ln(n+1)+\gamma+\varepsilon_{n+1}\)

因此，我们证明了当公式对于 \(n = k\) 成立时，它也对 \(n = k + 1\) 成立。根据数学归纳法，我们可以得出公式对于所有正整数 \(n\) 成立。

因此，我们证明了公式 \(\sum^{n}_{i = 1} \frac{1}{n}=\ln n+\gamma+\varepsilon_n\) 的正确性。