Solution -「CCPC Winter Camp Day 6 A」Convolution

Description

给定一个数列 \(\sf a_1,a_2,....a_n\)，请求出下面这个结果在模 \(\sf 998244353\) 下的答案。

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}2^{a_i a_j}
\]

Solution

这题涉及一个 trick：\(\sf ij=\binom{i+j}{2}-\binom{i}{2}-\binom{j}{2}\)，是 UQ 里面 EI 给我讲的，说明一下。

首先我们令 \(\sf c_{a_{i}}=the~number~of~the~occurrences~of~a_{i},mx=\max\{a_{i}\}\)。

然后来推式子：

\[\begin{aligned}
\sf\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}2^{a_{i}a_{j}}&=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{ij} \\
&=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}-\binom{i}{2}-\binom{j}{2}} \\
&=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{j}{2}} \\
&=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{j}{2}} \\
\end{aligned}\\
\]

现在我们令 \(\sf t_{i}=2^{\binom{i}{2}},it_{i}=2^{-\binom{i}{2}}\)。

那么 \(\sf i+j\) 那项你就直接拿出来最后单独算即可。

\[\begin{aligned}
\sf\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}2^{a_{i}a_{j}}
&=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}2^{\binom{i+j}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{j}{2}} \\
&=\sf\sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=1}^{mx}c_{i}c_{j}t_{i+j}it_{i}it_{j} \\
\end{aligned}\\
\]

最后直接算：

\[\sf \sum_{i=1}^{mx}\sum_{j=0}^{mx-1}c_{i}it_{i}c_{i-j}it_{i-j}
\]

卷积完了。

记住模数非质的时候不一定有逆元啊啊啊啊！！！！

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const LL MOD=998244353;

void exGCD(LL one,LL ano,LL &x,LL &y)

{

	if(ano==0)	x=1,y=0;

	else	exGCD(ano,one%ano,y,x),y-=(one/ano)*x;

}

LL getInv(LL val,LL _MOD){LL res,w; exGCD(val,_MOD,res,w); return (res%_MOD+_MOD)%_MOD;}

LL fspow(LL bas,LL fur)

{

	LL res=1;

	while(fur)

	{

		if(fur&1)	res=LL(res)*bas%MOD;

		bas=LL(bas)*bas%MOD;

		fur>>=1;

	}

	return (res+MOD)%MOD;

}

LL fac[200010],ifac[200010];

//LL binom(LL n,LL k){return n>=k?LL(fac[n])*ifac[k]%(MOD-1)*ifac[n-k]%(MOD-1):0;}

LL binom(LL n,LL k){return n>=k?LL(n)*(n-1)/2%(MOD-1):0;}

namespace Poly

{

	typedef vector<LL> poly;

	#define len(x) (LL((x).size()))

	LL lim,rev[800010];

	void ntt(poly &f,LL op)

	{

		for(LL i=0;i<lim;++i)	if(i<rev[i])	swap(f[i],f[rev[i]]);

		for(LL len=2;len<=lim;len<<=1)

		{

			LL bas=fspow(op==1?3:332748118,(MOD-1)/len);

			for(LL fr=0;fr<lim;fr+=len)

			{

				LL now=1;

				for(LL ba=fr;ba<fr+(len>>1);++ba,now=LL(now)*bas%MOD)

				{

					LL tmp=LL(now)*f[ba+(len>>1)]%MOD;

					f[ba+(len>>1)]=(f[ba]-tmp+MOD)%MOD;

					f[ba]=(f[ba]+tmp)%MOD;

				}

			}

		}

		if(op==-1)

		{

			LL tmp=getInv(lim,MOD);

			for(LL i=0;i<lim;++i)	f[i]=LL(f[i])*tmp%MOD;

		}

	}

	poly operator*(poly f,poly g)

	{

		LL n=len(f)+len(g)-1; lim=1;

		while(lim<n)	lim<<=1;

		f.resize(lim),g.resize(lim);

		for(LL i=0;i<lim;++i)	rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(lim>>1):0);

		ntt(f,1),ntt(g,1);

		for(LL i=0;i<lim;++i)	f[i]=LL(f[i])*g[i]%MOD;

		ntt(f,-1),f.resize(n);

		return f;

	}

}using namespace Poly;

LL n,mx,c[100010],t[100010],it[100010],ans,ex[200010];

int main()

{

	poly f;

	scanf("%lld",&n);

	for(LL i=1,x;i<=n;++i)	scanf("%lld",&x),mx=max(mx,x),++c[x];

	f.resize(mx+1);

	fac[0]=1;

	for(LL i=1;i<=(mx<<1);++i)	fac[i]=LL(fac[i-1])*i%(MOD-1);

//	for(LL i=0;i<=(mx<<1);++i)	ifac[i]=getInv(fac[i],MOD-1);

//	printf("%lld\n",getInv(fac[2],MOD));

//	printf("(%lld %lld %lld %lld)\n",fac[2],ifac[2],ifac[0],binom(2,2));

	for(LL i=0;i<=mx;++i)	t[i]=fspow(2,binom(i,2));

	for(LL i=0;i<=mx;++i)	it[i]=getInv(t[i],MOD);

//	for(LL i=1;i<=mx;++i)	printf("%lld ",fac[i]); puts("");

//	for(LL i=1;i<=mx;++i)	printf("%lld ",binom(i,2)); puts("");

//	for(LL i=1;i<=mx;++i)	printf("%lld ",LL(i)*(i-1)/2%MOD); puts("");

	for(LL i=0;i<=mx;++i)	f[i]=LL(c[i])*it[i]%MOD;

	for(LL i=1;i<=(mx<<1);++i)	ex[i]=fspow(2,binom(i,2));

	f=f*f;

	for(LL i=0;i<len(f);++i)	ans=(ans+LL(f[i])*ex[i]%MOD)%MOD;

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}