AcWing 168. 生日蛋糕

原题链接:AcWing 168. 生日蛋糕

设当前体积是\(v，h、r\)分别记录每层的高度和半径，由于整个蛋糕的上表面面积等于最大蛋糕的圆面积，所以枚举到最大一层的时候直接加上即可。

1. 优化搜索顺序：搜数量小的分支，可以从蛋糕最下边一层开始搜索，因为最下边一层占体积最大，然后对于枚举半径\(R\)和高度\(H\)，肯定是先枚举半径\(R\)，因为它对体积的贡献是平方级别的。

2. 上下界剪枝：在第\(depth\)层时，对于\(R\)与\(H\)可以求一个范围：

   枚举\(R \in [depth, \,\, min( \lfloor \sqrt{N - v} \rfloor, \,\, r[depth + 1] - 1)]\)，

   枚举\(H \in [depth, \,\, min( \lfloor cfrac{(N - v)}{R^2} \rfloor, \,\, h[depth + 1] - 1)]\)

3. 可行性剪枝：
   
   预处理出每一层的最小体积和表面积，显然，第\(1 到 i\)层的\(r\)分别取\(1, 2, 3, ..., i\)即可，高度也分别取\(1, 2, 3, ..., i\)。那么当当前\(v\)加\(1\)到\(depth - 1\)层的\(minv\)大于\(N\)那么直接返回。

4. 最优性剪枝\(1\)：
   
   如果当前表面积\(s\)加上\(1\)到\(depth - 1\)层的\(mins\)，那么就剪枝。

5. 最优性剪枝\(2\):
   
   利用\(h\)和\(r\)数组，\(1\)到\(depth-1\)层的体积可以表示为 \(n - v = \sum\limits_{k = 1}^{depth-1} h[k] * r[k]^2\)，1到depth - 1层的表面积可以表示为\(2 * \sum\limits_{k=1}^{depth - 1} h[k]*r[k]\)。

   利用放缩法，\(2 * \sum\limits_{k=1}^{depth - 1} h[k]*r[k] = \cfrac{2}{r[depth]} * \sum\limits_{k = 1}^{depth - 1} h[k] * r[k] * r[depth] \geq \cfrac{2}{r[depth]} * \sum\limits_{k = 1}^{depth - 1} h[k] * r[k]^2 \geq \cfrac{2(n - v)}{r[depth]}\)，所以当\(\cfrac{2(n - v)}{r[depth]} + s\)大于已经搜到的答案时，可以剪枝。

// Problem: 生日蛋糕
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/170/
// Memory Limit: 10 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 25, INF = 1E9;

int n, m;
int R[N], H[N];
int res = INF;
int minv[N], mins[N];

void dfs(int u, int v, int s) {
	if (v + minv[u] > n) return;
	if (s + mins[u] >= res) return;
	if (s + 2 * (n - v) / R[u + 1] >= res) return;

	//说明已经从上往下搜到了最后一层
	if (!u) {
		if (v == n) res = s;
		return;
	}

	for (int r = min(R[u + 1] - 1, (int)sqrt(n - v)); r >= u; r--) {
		for (int h = min(H[u + 1] - 1, (n - v) / r / r); h >= u; h--) {
			int t = 0;
			if (u == m) t = r * r;
			R[u] = r, H[u] = h;

			dfs(u - 1, v + r * r * h, s + 2 * r * h + t);
		}
	}
}

int main() {
	cin >> n >> m;

	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
		mins[i] = mins[i - 1] + i * i * 2;
	}

	R[m + 1] = H[m + 1] = INF;

	dfs(m, 0, 0);

	if (res == INF) res = 0;
	cout << res << endl;

    return 0;
}