NC19777 卡牌游戏

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题目

题目描述

小贝喜欢玩卡牌游戏。某个游戏体系中共有N种卡牌，其中M种是稀有的。小贝每次和电脑对决获胜之后都会有一个抽卡机会，这时系统会随机从N种卡中选择一张给小贝。普通卡可能多次出现，而稀有卡牌不会被重复抽到。小贝希望收集到K种稀有卡牌，她想知道期望需要多少次获胜才能实现这个目标。

输入描述

数据有多组，第一行一个整数T表示数据组数。

每组数据一行，三个整数N,M,K .

输出描述

对于每组数据，输出形如"Case #x: y"，其中 x 为这组数据的编号（从1开始），y 为这组数据的答案。答案的绝对误差或相对误差在10-6以内都认为是正确的。

示例1

输入

2
5 2 1
40 9 5

输出

Case #1: 2.5
Case #2: 28.1146825397

备注

1 ≤ T ≤ 100

1 ≤ N ≤ 10^5

1 ≤ M ≤ N

1 ≤ K ≤ M

题解

知识点：概率dp。

设 \(f_i\) 表示已经抽到 \(i\) 张稀有牌后还需要抽几次的期望。有转移方程：

\[f_i = (f_{i+1} + 1) \cdot \frac{m-i}{n-i} + (f_i + 1) \cdot \frac{n-m}{n-i}
\]

稍作变形：

\[f_i = f_{i+1} + \dfrac{n-i}{m-i}
\]

所以 \(\displaystyle f_0 = \sum_{i = 0}^{k-1} \dfrac{n-i}{m-i}\) 。

时间复杂度 \(O(k)\)

空间复杂度 \(O(1)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

bool solve() {
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    double ans = 0;
    for (int i = k - 1;i >= 0;i--) ans += (double)(n - i) / (m - i);
    cout << fixed << setprecision(9) << ans << '\n';
    return true;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t = 1;
    cin >> t;
    for (int i = 1;i <= t;i++) {
        cout << "Case #" << i << ": ";
        if (!solve()) cout << -1 << '\n';
    }
    return 0;
}