CF 3000+

CF1981F / *3000

首先有朴素的 dp：\(f_{u, i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树已经 finish 了，经过 \(u\) 往上走的路径 MEX 为 \(i\)。\(i\) 的取值是 \([1, n + 1] \bigcap \mathbb{Z}\)，因为一共只有 \(n\) 个点。

转移的时候分情况，看看子树往上走的路径是在 \(u\) 断开还是继续向上延伸。如果有两个儿子还要考虑是否需要将两个向上走的链在 \(u\) 这里 merge 起来。

这个朴素 dp 是 \(O(n ^ 2)\) 的。但是根据直觉 MEX 不会很大。因此转移时第二维只转移到 \(5000\)。由于 CF 的神机，很轻松的就跑过了。

Proof：假设权值 \(i\) 出现了 \(s_i\) 次。对于一个序列，将每个 \(i\) 与其左右划分为一段，剩下的部分同样成段。这样一共能分出 \(2s_i + 1\) 段。

其中含有 \(i\) 的段 MEX \(\le i\)（因为 \(i\) 一定不在序列中），含有 \(i\) 的段 MEX \(\le 4\)（因为段长为 \(3\)）。

设 MEX 上界为 \(t\)，则有 \(\min\{(s_i + 1)i + 4s_i\} \ge t\)。又 \(\min\{(s_i + 1)i + 4s_i\} < \min\{(s_i + 1)i + 4(s_i + 1)\}\)，可以放缩一下，解得 \(s_i \le \left \lfloor \dfrac{t}{i +4} \right \rfloor - 1\)。

由于 \(\sum s_i = n\)，根据调和级数可以得到 \(n = O(t \ln t)\)，也就是说 \(t\) 实际上是 \(O(\dfrac{n}{\ln n})\) 级别的。题解说 \(t = 3863\)。

CF1476F / *3000

怎么会有这么蠢的 CF *3000？

想一下，设 \(f_i\) 表示填满前 \(i\) 个需要的最少灯笼不好做。设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个灯笼能扩展的最长前缀。分情况转移：

• \(f_{i-1}<i\)：\(f_i \leftarrow f_{i-1}\)

• \(f_{i-1}>i\)：\(f_i \leftarrow \max\{f_{i-1}, i+p_i\}\)

• \(i\) 向左与前面的前缀拼起来。设 \(t\) 为 \(f_t \ge i - p_i\) 的最小位置。\(f_{i} \leftarrow \max\{i-1,\displaystyle \max_{t<j<i} \{j + p_j\}\}\)

\(t\) 可以二分，\(\max\{j + p_j\}\) 可以 RMQ。复杂度线性对数。