洛谷 P5066 [Ynoi2014] 人人本着正义之名

洛谷 P5066 [Ynoi2014] 人人本着正义之名

Problem

对一个01序列进行以下\(m\)个操作：

1. 区间覆盖为0
2. 区间覆盖为1
3. 将区间\([l,r-1]\)中的数\(a_i\)同时变为\(a_i\)与\(a_{i+1}\)按位或的值
4. 将区间\([l+1,r]\)中的数\(a_i\)同时变为\(a_i\)与\(a_{i-1}\)按位或的值
5. 将区间\([l,r-1]\)中的数\(a_i\)同时变为\(a_i\)与\(a_{i+1}\)按位与的值
6. 将区间\([l+1,r]\)中的数\(a_i\)同时变为\(a_i\)与\(a_{i-1}\)按位与的值
7. 查询区间和

强制在线。

\(1\le n,m\le 3\times10^6,0\le a_i\le1\).

Solution

刚开始思考的时候，看到数据范围中有着随机生成这个部分分，想到了珂朵莉树（毕竟背景是珂朵莉嘛~）。

但是貌似珂朵莉无法对操作\(3,4,5,6\)进行很好的维护。

又注意到这个序列只有01，这里可是一个突破口！

我们手玩一下样例中的01001：

首先分段：

\[[0][1][00][1]
\]

操作\(3\)：

\[[11][0][11]
\]

可以发现，所有的0段的最右边的0都变成了1，也就是所有的1段的长度向左扩展了1位（如果它的左边还有的话）。

操作\(4,5,6\)也类似，每次一种段只会有边界上的改变。

这个貌似就很好维护了。

但是我们都知道，珂朵莉维护的是一段值相同的区间，却不一定随时都是极长的。

即，我们需要让一个0段的左右保证是1段（或者没有）。

我们手写一个平衡树（而不用set）来维护这些子段。因为左/右端点移动量显然是可以叠加的，可以在平衡树上打标记维护。

但是有两个问题：如何保证每个子段都是极长的？如何保证没有空的子段？

如果子段不是极长的，那么就会有相邻的同值子段，其中一个移动边界时会占领另一个，但是显然不需要移动。对于这个问题比较简单，只要在区间赋值的时候多向两遍拓展即可。其他的操作都是不会造成这种非极长子段的。

当我们在移动边界的时候，会出现一个子段的长度已经变成了0的情况，会导致总段数剧增，无法保证时间复杂度。

在平衡树上再维护两个值：子树中最短的0/1段长度即可。

发现有长度为0的段时直接暴力删除。

平衡树的一个节点维护了：左端点，右端点，子段的值，子树和，子树中0段的数量，子树中1段的数量，子树内最短的0段，子树内最短的1段，lazy标记。

然后这道题就结束了。

Code

按照传统（？），只给部分代码供参考。有问题也可以私信(如果我还没AFO的话)

剪切板

Other

唉，2021年了，这道题需要一点卡常了……

原本\(Ynoi\)是很友好的，但是有些人用错误的时间复杂度乱搞过去了，所以只能加强加强再加强，导致正解想要过去也比较困难了……

\(\textbf{2021-03-31 08:00:25 thus,AC.}\)

附上debug日志。祝您早日AC。