【慢速加实现64位乘法】AcWing90 64位整数乘法

题意

求\(a*b\%q(1 \leq a,b,q \leq 10^{18})\)的值。

题解

在计算机中，数字都是以二进制数表示的。例如：\(5_{10}\)的二进制数为\(101_2\)。

对于\(2\)的幂级数，都可以表示为:\(1<<n\)。

那么\(5_{10}\)就可以用多个\(2\)的幂级数表示为：

\[101_2=(1<<0)+(1<<2)
\]

\(\because\)乘法满足分配律

\(\therefore a * b\)可以表示为：

\[a*b=a*(b关于2的幂级数和)
\]

由于a和b的数据范围都会达到\(10^{18}\)，若直接使用乘法操作，则会爆\(long long\)，所以当两个数不能直接相乘时就考虑使用加法来实现乘法。

一个不大于\(10_{18}\)的数乘以\(2\)是不会爆\(long long\)的

因此使用加法来实现乘法是可以实现题目要求的值的。

参考代码

C++

ll qadd(ll a, ll b, ll p) {
    Ll ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = (ans + a) % p;
        }
        a <<= 1;
        a %= p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}