Hetao P1031 萌萌题 题解 [ 蓝 ] [ 线性 dp ]

萌萌题：一道结合了观察性质的线性 dp。

观察

我们先考虑极端情况：所有数相同，所有数降序排列两种情况。

对于所有数相同的情况，我们发现，最终可以合并出来的区间，最多只有 \(n \log n\) 个。

怎么证明？考虑固定右端点，那么我们想要合并出一个点，就得选 \(2^k\) 个数出来，这就有 \(\log n\) 次选择方式。总的来说就是有 \(n \log n\) 种选数方式了。

所有数降序排列是多少？我们只需要将最后两个元素合并，然后继续往前面合并即可。总体来说有 \(n\) 个。

dp 设计

这题还有个很重要的观察：对于固定了右端点的时候，假设我们要让这个数增加 \(v\)，那么合并的方案（区间）一定是唯一的。这就启发了我们可以设计一个 dp，定义 \(dp_{i,j}\) 表示让元素 \(i\) 增加 \(j\) 后，合并到的区间的左端点的前一个数是哪里。

为什么要前一个数？其实你不要这前一个数其实也可以做。只不过我这样设计来讲比较好写转移的代码。

接下来就是很显然的转移，假设目前合并到的区间的左端点的前一个数为 \(now\)，要增加 \(v\)：

\[dp_{i,v}=dp_{now,a_{now}-(a_i+v-1)}
\]

然后记录一下合法状态就好了。

这样写对吗？实际上假了。这是我赛时的做法，当时误以为一个数最多增量只可能是 \(\log n\)。实际上降序排列就能把增量卡到 \(n\)。

那么开大小为 \(n\) 的增量可不可以？直接开肯定不行，会 MLE，但是动态开不就行了？根据前面的观察，我们最多只有 \(n \log n\) 个合法区间，那么每个数的增量也最多只有 \(n \log n\) 个，我们用 vector 模拟动态开 dp 数组的过程，这道题就 AC 了。

注意，当某个区间无法继续合并下去的时候，要立刻 break，才能保证复杂度正确，否则会退化为平方级别。

时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pi;
int n,a[100005],ans=0;
vector<int>dp[100005];
int main()
{
    freopen("cute.in","r",stdin);
    freopen("cute.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i].emplace_back(i-1);
        for(int j=1;j<=100000;j++)
        {
            int now=dp[i][j-1];
            int ta=a[now];
            int dt=a[i]+j-1-ta;
            if(dt>=0&&dt<dp[now].size())dp[i].emplace_back(dp[now][dt]);
            else break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,a[i]+int(dp[i].size())-1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}