y.sum().backward()为什么需要.sum()的思考

这是2.5小节的内容，在网上看了一些回答后仍然不是很清楚，深入思考后忽然想明白了，在此记录一下，希望对和我一样有疑惑的人有所帮助 : )

首先，需要明确两点：

• backward是对标量的操作，没办法对向量进行操作
• 梯度是偏导数的集合

在清楚这个之后，我们仍然沿用书中的例子。

1. 结果为标量

如果关于向量x的函数为y = torch.dot(x, x) ，也就是点积，这个函数最后得到的是一个标量。如果我们的输入是x = [1, 2, 3]，那么y = x1*x1 + x2*x2 + x3*x3 = 1 + 2 + 9 = 12，它的梯度就是[2x1, 2x2, 2x3] = [1, 4, 6]。以上都是我们在高数中学到的，容易理解。

2. 结果为向量

但是当关于x的函数为y = x*x时，就会变的复杂起来。同样的输入x = [1, 2, 3]，得到的函数值为y = [x1*x1, x2*x2, x3*x3] = [1, 4, 9]，这是一个向量。我们仍然想要求函数的偏导，并且也很清楚对于每一个输入，它的偏导就是[2x1, 2x2, 2x3] = [1, 4, 6]，只是backward并不支持对向量的操作。因此，我们进行.sum()操作，将所有的输出加起来，y = x1*x1 + x2*x2 + x3*x3，在求梯度时会发现，虽然相加了起来，但是除了关于x1本身的运算之外，其他的运算会被当做常数项在偏导数中被消去，因此最终就可以得到不同的输入时的偏导，也就是梯度。

3. 理解

上面是一个很简答的例子，在神经网络里有大量的张量运算，要比这个复杂很多。我们进行.sum()的本质在于：偏导是函数的一个性质，对函数成立，我们得到的向量实际上是运算的集合，对向量中的每一个元素而言，都有自己的运算过程，也就是属于自己的函数。将这些结果加起来，再求偏导，等效于对每一个元素对应的函数单独求导。

以上是我并不成熟的思考，没有经过数学上的推理求证，如果有误，十分欢迎各位指出，非常感谢！！让我们一起学习吧！

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更新于2025-2-8：

在学习强化学习过程中看到了随机优化算法，这才是随机梯度下降的合理的证明，之前仅仅是个人的推测，想了解的可以看一下！