SciTech-Mathmatics-Analysis:分析: “升维”研究 之 数学家发明"参数方程": 将坐标方程 $\large x^2 + y^2 = 1$ 转化为 $\large x =sin(t) \ and \ y=cos(t) $

SciTech-Mathmatics-Analysis:分析: 参数方程

将坐标方程 \(\large x^2 + y^2 = 1\) 转化为 $\large x =sin(t) \ and \ y=cos(t) $

参数方程“引人另外的变量(参数变量)”，本质是“升维过程”，在高维空间研究。

• 数学家Euler(欧拉), 曾经引入的一种研究曲线的参数方程方法,
  
  就是把区线上动点\(p\)的坐标\(x\)和\(y\)，分别表示为关于\(t\)的函数，
  
  那么随着\(t\)的变化，点\(p\)的位置也随之发生变化，从而形成同一条曲线；
  
  这个其实就是我们中学学过的参数方程。
• 比如平面上的单位圆，
  • 如果用xy坐标方程来表示，就是\(\large x^2 + y^2 = 1\)
  • 用参数方程来表示，就是$\large x =sin(t) \ and \ y=cos(t) $
• 上面两种表示方法都表示同一曲线。那为什么还要引入“参数方程”？
  • 参数方程的产生，事实上是数学史上一个非常重要的事件;
    
    甚至于微积分的诞生，也与此有关。
  • 那么参数方程有什么意义？

参数方程的 意义

1. 参数方程可以更好的表示物体的运动(速度，方向)，例如:
   • 对比以下两组方程，可以明确的发现两者代表的“转速”区别，
     
     后一个方程的是前一个方程的2倍。
     
     $\large x =sin(t) \ and \ y=cos(t) $
     
     $\large x =sin(2t) \ and \ y=cos(2t) $
     
     以上两个方程，“消参”后表示的是同一个 xy 方程，即同一条曲线。
     
     但是，“消参”后的xy方程是看不出“转速”的区别的，而参数方程可以。
   • 对比以下两组方程，可以明确的发现两者代表的“方向”区别，
     
     后一个方程是“逆时针”，前一个方程是“顺时针”。
     
     $\large x =sin(t) \ and \ y=cos(t) $
     
     $\large x =sin(t) \ and \ y=cos(-t) $
     
     但是，“消参”后的xy方程是看不出“方向”的区别的，而参数方程可以。
   • 对比以下两组方程，可以明确的发现两者代表的“phase”区别，
     
     后一个方程的 与 前一个方程的 有 $\dfrac{\pi}{2} $的偏移。
     
     $\large x =sin(t) \ and \ y=cos(t) $
     
     $\large x =sin(t+\dfrac{\pi}{2}) \ and \ y=cos(t+\dfrac{\pi}{2}) $
     
     但是，“消参”后的xy方程是看不出“phase”的区别的，而参数方程可以。

通过以上的对比，总结:

• xy 方程 是“轨迹方程”只表示运动的“轨迹”,

• 参数方程，不仅能表示运动"轨迹(消参)"，还能表示方向、速度、phase等;
  
  参数方程，还可以表示一些xy轨迹方程表示不了的曲线，例如:摆线，螺旋线，弓形线等。

• 参数方程无论是“数”、“形”或 “数形结合”上都更精简而且符合人性。
  
  尽管也可将sin(t)和cos(t)用x与y的表达式 表示:
  
  $\large t = arcsin(x) \ or \ t=arccos(y) $

• 实例

  • “地、月、日系统的运动轨迹”也需要使用参数方程;
  • \(\large Mark\ Zuckerberg的Meta公司，其Logo就是用参数方程可表示的\)。

• 使用参数方程，还可以非常容易而深刻的研究一些曲线的形状和性质;
  
  例如: 切线、法线、螺旋线、弧长、曲率，挠率等。以及各种各样的基本形式。
  
  事实上正是对于这些问题的深入研究，才导致了微积分的产生，与微分几何的发展。

• 参数方程, 还等价于向量函数，因此它还促进了向量代数与向量微积分的发展。

• 参数方程真的是非常重要而且有意义的研究方法。