BZOJ2327: [HNOI2011]勾股定理

BZOJ2327: [HNOI2011]勾股定理

Description

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题解Here!

这是一道神题。。。

我一开始把题目看错了，我以为是在$n$根木棒中选两个$i,j$满足$gcd(i,j)==1$，并且存在$k$使得$i^2+j^2==k^2$。

我说这不是网络流的沙茶题嘛？

然后数据范围$n<=10^6$。。。

怎么这么大？就算建图建完了，$Dinic$好像也会$TLE$，预流推进可能都会$TLE$。。。

然后回头看题——$MD$，我就是个$zz$。。。

选取若干个。。。

于是这题就比较好做了。

这里有一篇$YDC$巨佬的博客讲的比我好：链接。

首先要预处理出$10^6$以内的勾股数对。

根据初中的经验，我们有：$$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$$

这个应该都会证吧，全部拆开就好了。

于是一对互质勾股数$(a,b)$与一对$(i,j)$应满足$$a=j^2-i^2,b=2\times i\times j,c=j^2+i^2,gcd(i,j)==1,i<j,\text{i和j不同奇偶}$$

我们枚举$i,j$，由于$i\times j<=\frac{10000000}{2}$，并且$gcd$的复杂度上限是$\log_2n$，一般不会达到，所以就是$500000\times \log_2 500000<500000\times 20=10^7$的复杂度。

我们对于互质勾股数$(a,b)$，在$a,b$间连边。

我们假设他们构成了一片森林，那么题目变成在森林中选点且互不相邻了，跟P1352 没有上司的舞会很像，经典树形$DP$。

但是自从我发现这个不是基环无向树就不想做了。

设$dp[i][0]$表示在$i$这棵子树上不选$i$的方案数，$dp[i][1]$表示在$i$这颗子树上选$i$的方案数。

状态转移长这样：
$$dp[i][0]=(dp[v_1][0]+F[v_1][1])\times (dp[v_2][0]+dp[v_2][1])\times ...$$
$$dp[i][1]=(2^{num[i]}-1)\times dp[v_1][0]\times dp[v_2][0]\times ...$$

$num[i]$表示$i$出现了几次。

我们发现我们建的图将构成一片森林。

假设森林里每颗树的根是$rt_1,rt_2,...rt_k$，那么答案就是：
$$(dp[rt_1][0]+dp[rt_1][1])\times(dp[rt_2][0]+dp[rt_2][1])\times ...\text{之后再减1，即去掉空集}$$

$BUT$！这么做是$30$分。

我当时懵的一批啊。。。感觉这方法行得通吗？？？

然后我发现一个智障一样的问题——图并不一定是树，可能有环。。。

靠！这个坑。。。

接下来就开始乱搞了。。。

对于一条回边$(u,v)$，就像$tarjan$求强连通中的$dfn[v]<dfn[u]$一样，我们把$u,v$标记一下加入点集$stack$，把这条边删掉。

之后$2^{|stack|}$枚举每个点的选择情况，在合法的情况下套用树形$DP$。

这个时候由于是同一棵树，所以用加法原理而不是乘法原理，即每次统计的答案用个变量累加，最后乘以这个变量。

这题就做完了

吗？

没有！

但是因为数据水的原因，出题人强行把$NP$的题出成了普通题。。。

所以这题就当过了吧。。。

HN的出题人真是不负责任。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define MAXN 1000010
#define MOD 1000000007
using namespace std;
vector<int> stack;
int n,c=1,d=1,T;
int head[MAXN],deep[MAXN],vis[MAXN],num[MAXN];
long long bit[MAXN],dp[MAXN][2];
bool used[MAXN],choose[MAXN];
struct Edge{
    int next,to;
}a[MAXN];
inline int read(){
    int date=0,w=1;char c=0;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
    return date*w;
}
inline long long sqr(long long x){return x*x;}
int gcd(int x,int y){
    if(!y)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
inline void add(int x,int y){
    a[c].to=y;a[c].next=head[x];head[x]=c++;
    a[c].to=x;a[c].next=head[y];head[y]=c++;
}
void build(){
    int m=MAXN-10;
    for(int i=1;i<=m/2;i++)
    for(int j=i+1;j<=m/2/i&&sqr(j)-sqr(i)<=m;j++)
    if(((i&1)!=(j&1))&&gcd(i,j)==1)add(2LL*i*j,sqr(j)-sqr(i));
    bit[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)bit[i]=(bit[i-1]<<1)%MOD;
}
inline void insert(int x){
    if(!used[x]){
        used[x]=true;
        stack.push_back(x);
    }
}
bool check(int u,int f){
    vis[u]=T;
    for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
        int v=a[i].to;
        if(v==f||!num[v])continue;
        if(choose[u]&&choose[v])return false;
        if(vis[v]!=T)if(!check(v,u))return false;
    }
    return true;
}
void dfs1(int x,int f){
    deep[x]=d++;
    for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
        int v=a[i].to;
        if(!num[v]||v==f)continue;
        if(!deep[v])dfs1(v,x);
        else if(deep[v]<deep[x]){insert(x);insert(v);}
    }
}
void dfs2(int x,int f){
    vis[x]=T;
    dp[x][0]=1;
    dp[x][1]=(bit[num[x]]-1+MOD)%MOD;
    if(used[x]){
        if(choose[x])dp[x][0]=0;
        else dp[x][1]=0;
    }
    for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
        int v=a[i].to;
        if(v==f||!num[v]||vis[v]==T)continue;
        if(vis[v]!=T)dfs2(v,x);
        dp[x][0]=dp[x][0]*(dp[v][0]+dp[v][1])%MOD;
        dp[x][1]=dp[x][1]*dp[v][0]%MOD;
    }
}
void dfs3(int i,int m,int x,long long &ans){
    if(i==m){
        T++;
        if(check(x,-1)){
            T++;
            dfs2(x,-1);
            ans=(ans+dp[x][0]+dp[x][1])%MOD;
        }
        return;
    }
    choose[stack[i]]=false;
    dfs3(i+1,m,x,ans);
    choose[stack[i]]=true;
    dfs3(i+1,m,x,ans);
}
long long solve(int x){
    stack.clear();
    dfs1(x,-1);
    int m=stack.size();
    long long ans=0;
    dfs3(0,m,x,ans);
    return ans;
}
void work(){
    long long ans=1;
    for(int i=1;i<=MAXN-10;i++)if(num[i]&&!deep[i])ans=ans*solve(i)%MOD;
    printf("%lld\n",(ans-1+MOD)%MOD);
}
void init(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=read();
        num[x]++;
    }
}
int main(){
    build();
    init();
    work();
    return 0;
}