[TopCoder12141]SweetFruits

vjudge

description

有\(n\)个水果，有一些水果是香的，它们各有一个香度值，剩下的水果是不香的。

现在你要把这\(n\)个水果连成一棵树，定义一个水果是真香的当且仅当它是香的且他与一个香的水果相邻。定义一棵树的香度为这棵树上真香的水果的香度值之和。

求满足香度不超过某个给定值的树的个数模\(10^9+7\)。

\(n\le40\)

sol

设香的水果一共有\(m\)个。对于\(k\in[0,m]\)，求出有\(k\)个水果真香且满足最大香度限制的方案数（先不考虑连边）。这个显然可以\(\mbox{meet in the middle}\)一波。

然后要解决的问题就只跟\(k\)有关了：对于\(k\in[0,m]\)，我们需要求出满足\(k\)个水果真香的连边方案数。

这时候所有水果就可以分为三类：\(k\)个真香的水果，\(m-k\)个香但不真香的水果，以及\(n-m\)个不香的水果。

考虑连边。真香的水果可以与自己连边，也可以与不香的水果连边；香但不真香的水果只能和不香的水果连边（不然它也就真香了）；不香的水果可以和真香以及香但不真香的水果连边，也可以自己连边。

然后就只要上矩阵树就可以了。考虑到这样求出来的结果是至多\(k\)个水果真香的答案（因为可能有些你认为是真香的水果并没有和一个香的水果连边），所以再容斥一下就好了。

复杂度\(O(2^{\frac n2}n+n^4)\)

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 50;
const int mod = 1e9+7;
int n,m,s[N],V,a[N][N],C[N][N],ans[N],Ans;
vector<int>v1[N],v2[N];
int fastpow(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){if(b&1)res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
	return res;
}
int calc(int x,int y){
	if (x>m/2||y>m-m/2) return 0;int res=0;
	for (int i=0,j=v2[y].size()-1,sz=v1[x].size();i<sz;++i){
		while (j&&v1[x][i]+v2[y][j]>V) --j;
		if (v1[x][i]+v2[y][j]>V) break;res=(res+j+1)%mod;
	}
	return res;
}
void link(int u,int v){++a[v][v];--a[u][v];}
int gauss(){
	for (int i=0;i<n;++i)
		for (int j=0;j<n;++j)
			a[i][j]=(a[i][j]+mod)%mod;
	int res=1;
	for (int i=1;i<n;++i){
		if (!a[i][i]){
			int r=i;
			for (int j=i+1;j<n;++j) if (a[j][i]>a[r][i]) r=j;
			swap(a[r],a[i]);res=mod-res;
		}
		for (int j=i+1;j<n;++j){
			int x=1ll*a[j][i]*fastpow(a[i][i],mod-2)%mod;
			for (int k=i;k<n;++k) a[j][k]=(a[j][k]-1ll*x*a[i][k]%mod+mod)%mod;
		}
		res=1ll*res*a[i][i]%mod;
	}
	return res;
}
int work(){
	for (int i=0;i<n;++i) if (~s[i]) s[m++]=s[i];
	for (int i=0;i<(1<<m/2);++i){
		int x=0,y=0;
		for (int j=0;j<m/2;++j)
			if (i&(1<<j)) ++x,y+=s[j];
		v1[x].push_back(y);
	}
	for (int i=0;i<(1<<m-m/2);++i){
		int x=0,y=0;
		for (int j=0;j<m-m/2;++j)
			if (i&(1<<j)) ++x,y+=s[j+m/2];
		v2[x].push_back(y);
	}
	for (int i=0;i<=m/2;++i) sort(v1[i].begin(),v1[i].end());
	for (int i=0;i<m-m/2;++i) sort(v2[i].begin(),v2[i].end());
	C[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		C[i][0]=1;
		for (int j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
	for (int k=0;k<=m;++k){
		int way=0;for (int i=0;i<=k;++i) way=(way+calc(i,k-i))%mod;
		memset(a,0,sizeof(a));
		for (int i=0;i<k;++i){
			for (int j=0;j<k;++j) link(i,j);
			for (int j=m;j<n;++j) link(i,j);
		}
		for (int i=k;i<m;++i)
			for (int j=m;j<n;++j) link(i,j);
		for (int i=m;i<n;++i)
			for (int j=0;j<n;++j) link(i,j);
		ans[k]=gauss();
		for (int i=0;i<k;++i) ans[k]=(ans[k]-1ll*ans[i]*C[k][i]%mod+mod)%mod;
		Ans=(Ans+1ll*ans[k]*way)%mod;
	}
	return Ans;
}
class SweetFruits{
public:
	int countTrees(vector<int>ss,int _V){
		n=ss.size();V=_V;
		for (int i=0;i<n;++i) s[i]=ss[i];
		return work();
	}
};