题解 洛谷 P3726 【[AH2017/HNOI2017]抛硬币】

可以分别枚举两人正面朝上的次数来统计答案，所求即为

\[\sum_{i=0}^{a}\sum_{j=0}^{b} \binom{a}{i} \binom{b}{j} [i>j]
\]

将\(i\)替换为\(i+j\)来保证\(i>j\)

\[ \begin{aligned}

&\sum_{i=0}^{a}\sum_{j=0}^{b} \binom{a}{i} \binom{b}{j} [i>j] \\

=&\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=0}^{a-i} \binom{a}{i+j} \binom{b}{j} \\

=&\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=0}^{a-i} \binom{a}{i+j} \binom{b}{b-j}

\end{aligned} \]

由范德蒙德卷积得

\[ \begin{aligned}

&\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=0}^{a-i} \binom{a}{i+j} \binom{b}{b-j}\\

=&\sum_{i=1}^{a} \binom{a+b}{b+i} \\

=&\sum_{i=b+1}^{a+b} \binom{a+b}{i}

\end{aligned} \]

直接求化简后的式子复杂度无法接受，但发现\(a\)和\(b\)的差值很小，所以将式子进一步转化得

\[ \begin{aligned}

&\sum_{i=b+1}^{a+b} \binom{a+b}{i} \\

=&\sum_{i=\lceil \frac{a+b}{2} \rceil}^{a+b} \binom{a+b}{i}+\sum_{i=b+1}^{\lfloor \frac{a+b}{2} \rfloor} \binom{a+b}{i}

\end{aligned} \]

第一项的值可以快速计算，当\(a+b\)为奇数时，其为\(2^{a+b-1}\)，当\(a+b\)为偶数时，其为\(2^{a+b-1}-\frac{1}{2}\binom{a+b}{\frac{a+b}{2}}\)，第二项的值用扩展卢卡斯计算组合数即可。

用扩展卢卡斯计算组合数时，可以预处理阶乘和进行特判来优化。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000010
#define inf 2000000000
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,t,k2,k5,mod,ans,x,y;
ll f[6][maxn];
ll exgcd(ll a,ll b)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll ans=exgcd(b,a%b),tmp=x;
    x=y,y=tmp-a/b*y;
    return ans;
}
ll inv(ll a,ll p)
{
    if(!a) return 0;
    exgcd(a,p);
    return (x%p+p)%p;
}
ll qp(ll x,ll y,ll p)
{
    ll v=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) v=v*x%p;
        x=x*x%p,y>>=1;
    }
    return v;
}
ll fac(ll x,ll p,ll k)
{
    if(!x) return 1;
    return qp(f[p][k],x/k,k)*f[p][x%k]%k*fac(x/p,p,k)%k;
}
ll C(ll n,ll m,ll p,ll k,bool type)
{
    if(n<m) return 0;
    ll sum=0,v=1;
    for(ll i=n;i;i=i/p) sum+=i/p;
    for(ll i=m;i;i=i/p) sum-=i/p;
    for(ll i=n-m;i;i=i/p) sum-=i/p;
    if(type)
    {
        if(p==2) sum--;
        else v=inv(2,k);
    }
    if(sum>=t) return 0;
    return v*fac(n,p,k)%k*qp(p,sum,k)%k*inv(fac(m,p,k),k)%k*inv(fac(n-m,p,k),k)%k;
}
ll crt(ll x,ll p)
{
    return x*inv(mod/p,p)%mod*(mod/p)%mod;
}
ll exlucas(ll n,ll m,bool type)
{
    if(n<m) return 0;
    return (crt(C(n,m,2,k2,type),k2)+crt(C(n,m,5,k5,type),k5))%mod;
}
void init()
{
    f[2][0]=f[5][0]=1;
    for(int i=1;i<=512;++i)
    {
        f[2][i]=f[2][i-1];
        if(i&1) f[2][i]=f[2][i]*i%512;
    }
    for(int i=1;i<=1953125;++i)
    {
        f[5][i]=f[5][i-1];
        if(i%5) f[5][i]=f[5][i]*i%1953125;
    }
}
int main()
{
    init();
    while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&t)!=EOF)
    {
        mod=qp(10,t,inf),ans=qp(2,a+b-1,mod),k2=qp(2,t,inf),k5=qp(5,t,inf);
        for(ll i=b+1;i<=(a+b)/2;++i) ans=(ans+exlucas(a+b,i,0))%mod;
        if((a+b)%2==0) ans=(ans-exlucas(a+b,(a+b)/2,1)+mod)%mod;
        printf("%0*lld\n",t,ans);
    }
    return 0;
}