火题大战Vol.0 B 计数DP

火题大战Vol.0 B

题目描述

\(n\) 个沙茶，被编号 \(1\)~$ n$。排完队之后，每个沙茶希望，自己的相邻的两人只要无一个人的编号和自己的编号相差为 \(1\)（\(+1\) 或\(-1\)）就行；

现在想知道，存在多少方案满足沙茶们如此不苛刻的条件。

输入格式

只有一行且为用空格隔开的一个正整数 \(N\)。

输出格式

一个非负整数，表示方案数对 \(7777777\) 取模。

样例

样例输入

4

样例输出

2

样例解释

有两种方案 \(2\ 4\ 1\ 3\) 和 \(3\ 1\ 4\ 2\)

数据范围与提示

对于\(30\%\)的数据满足\(N \leq 20\)

对于\(100\%\)的数据满足\(1 \leq N \leq 1000\) ;

分析

我们设 \(f[i][j][0]\) 为填了 \(1\)到\(i\),当前有 \(j\) 对两两之间相差一的人,并且\(i\)和\(i-1\)不相邻的方案数

设 \(f[i][j][1]\) 为填了 \(1\)到\(i\),当前有 \(j\) 对两两之间相差一的人,并且\(i\)和\(i-1\)相邻的方案数

对于\(f[i][j][0]\)，如果我们在这\(j\)对人的中间插入一个数，那么两两之间相差一的人会少一对，因为此时\(i\)和\(i-1\)不相邻

转移方程 \(f[i+1][j-1][0]+=j \times f[i][j][0]\)

如果我们在\(i\)的旁边插入\(i+1\),那么两两之间相差一的人会多一对，并且\(i\)和\(i+1\)相邻，因此会转移至 \(f[i+1][j+1][1]\)

转移方程 \(f[i+1][j+1][1]+=2 \times f[i][j][0]\)

此时，我们在剩下的位置插入不会对对数产生影响，即

\(f[i+1][j][0]+=(i-1-j) \times f[i][j][0]\)

对于\(f[i][j][1]\) 如果我们在\(i\)和\(i-1\)的中间插入\(i+1\),则有

\(f[i+1][j][1]+=f[i][j][1]\)

如果我们在\(i\)的另一边插入\(i+1\)，则有

\(f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1];\)

如果我们在其它的 \(j-1\) 个空位中插入，则有

\(f[i+1][j-1][0]+=f[i][j][1]*(j-1)\)

如果我们在其它的空位中插入，则有

\(f[i+1][j][0]+=f[i][j][1]*(i-j)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;
#define int long long
int f[maxn][maxn][3];
const int mod=7777777;
signed main(){
	int n;
	scanf("%lld",&n);
	f[2][1][1]=2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<i;j++){
			f[i+1][j-1][0]+=j*f[i][j][0];
			f[i+1][j-1][0]%=mod;
			f[i+1][j+1][1]+=2*f[i][j][0];
			f[i+1][j+1][1]%=mod;
			if(i-j-1>0){
				f[i+1][j][0]+=(i-1-j)*f[i][j][0];
				f[i+1][j][0]%=mod;
			}
			if(j-1>0) {
				f[i+1][j-1][0]+=f[i][j][1]*(j-1);
				f[i+1][j-1][0]%=mod;
			}
			f[i+1][j][1]+=f[i][j][1];
			f[i+1][j][1]%=mod;
			f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1];
			f[i+1][j+1][1]%=mod;
			f[i+1][j][0]+=f[i][j][1]*(i-j);
			f[i+1][j][0]%=mod;
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n][0][0]);
	return 0;
}