Antisymmetry

题意描述

Antisymmetry

求给定的字符串的子串集合中为“反对串”的个数。

反对串的定义为，将这个字符串 \(0\) 和 \(1\) 取反后，再将整个串反过来和原串一样，就称作“反对串”。

算法分析

一开始想法是字符串 Hash \(O(n^2)\)，不出意外 T 到飞起。

发现“反对串”的定义类似回文串，于是想到 Manacher，发现可行。

让我们先来探究一下“反对串”的几个性质：

1. 若串 \(S(l,r)\) 为反对串，那么串 \(S'(l+1,r-1)\) 也为反对串。
2. 若串 \(S(l,r)\) 为反对串且 \(a_{l-1}\neq a_{r+1}\)，那么串 \(S'(l-1,r+1)\) 为反对串。
3. 反对串的长度比为偶数。

有了这几个简单的性质就可以直接套用 Manacher 模板了。

利用性质 \(2\) 类似地求出最大长度。

不过基于性质 \(3\)，只需要求偶数长度的串即可。（在 Manacher 上的表现为只拓展 '#'）

然后利用性质 \(1\)，易得答案为 \(\sum_{i=1}^{n}\frac{p_i}{2}(i\ mod\ 2=1)\)。

代码实现

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define N 500010
using namespace std;

long long n,len=2,p[N<<1];
char a[N],s[N<<1];

int main(){
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",a+1);
	s[0]='$',s[1]='#';
	for(int i=1;i<=n;i++)
		s[len++]=a[i],s[len++]='#';
	s[len]='\0';
	long long id,mx=0,ans=0;
	for(int i=1;i<len;i+=2){
		if(i<mx)
			p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);
		else
			p[i]=1;
		while((s[i-p[i]]=='#' && s[i+p[i]]=='#') || (s[i-p[i]]-'0'+s[i+p[i]]-'0')==1)
			p[i]++;
		if(mx<i+p[i])
			id=i,mx=i+p[i];
	}
	for(int i=1;i<len;i+=2)
		ans+=p[i]-1;
	printf("%lld\n",ans/2);
	return 0;
}

完结撒❀。