hdu5514

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题意

\(m\) 个石子绕成一圈，编号\([0, m - 1]\)。有 \(n\) 个青蛙从 \(0\) 号石子出发，给出每个青蛙的步长，青蛙无限跑圈。问哪些石子至少被一个青蛙经过，求这些石子的编号之和。

分析

假设某个青蛙的步长 \(x\)，则一共会经过 $ \frac{m - 1}{x} + 1$ 个石子（包括 \(0\) ）。可以用等差数列求和公式计算贡献。

然后找出 \(m\) 的所有因子并考虑哪些因子可能要计算贡献。

例如步长为 \(2\) 和 \(3\) 的计算后，步长为 \(6\) 的情况被计算了两次（或者说 \(6\) 的倍数的编号被计算了两次），应该减去一次，用一个数组记录某个步长被计算了几次贡献，在统计答案的时候减去即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e4 + 10;
int a[MAXN];
int fac[MAXN];
int vis[MAXN]; // vis[i]表示fac[i]是否可能要计算贡献，如果为 0 一定不计算贡献
int num[MAXN]; // num[i]表示fac[i]被计算了几次贡献
int main() {
    int T, kase = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        memset(num, 0, sizeof num);
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        int fc = 0;
        for(int i = 1; i * i <= m; i++) {
            if(m % i == 0) {
                fac[fc++] = i;
                if(i * i != m) fac[fc++] = m / i;
            }
        }
        sort(fac, fac + fc);
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
            a[i] = __gcd(a[i], m);
            for(int j = 0; j < fc; j++) {
                if(fac[j] % a[i] == 0) {
                    vis[j] = 1;
                }
            }
        }
        ll ans = 0;
        for(int i = 0; i < fc - 1; i++) {
            ll k = (m - 1) / fac[i];
            ans += (k + 1) * k * fac[i] / 2 * (vis[i] - num[i]);
            for(int j = i + 1; j < fc - 1; j++) {
                if(fac[j] % fac[i] == 0) {
                    num[j] += vis[i] - num[i];
                }
            }
        }
        printf("Case #%d: %lld\n", kase++, ans);
    }
    return 0;
}