【费用流】BZOJ1061[NOI2008]-志愿者招募

【题目大意】

一个项目需要n天完成，其中第i天至少需要Ai个人。共有m类人可以招募，其中第i类可以从第Si天做到第Ti天，每人的招募费用为Ci元。求最小招募费用。

【思路】

byvoid神犇的建图详解，对理解网络流有很好的帮助，下面再引用一下，原po请戳：★

这道题正确的解法是构造网络，求网络最小费用最大流，但是模型隐藏得较深，不易想到。构造网络是该题的关键，以下面一个例子说明构图的方法和解释。

例如一共需要4天，四天需要的人数依次是4,2,5,3。有5类志愿者，如下表所示：

种类	1	2	3	4	5
时间	1-2	1-1	2-3	3-3	3-4
费用	3	4	3	5	6

设雇佣第i类志愿者的人数为X[i]，每个志愿者的费用为V[i]，第j天雇佣的人数为P[j]，则每天的雇佣人数应满足一个不等式，如上表所述，可以列出

P[1] = X[1] + X[2] >= 4

P[2] = X[1] + X[3] >= 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] >= 5

P[4] = X[5] >= 3

对于第i个不等式，添加辅助变量Y[i] (Y[i]>=0) ，可以使其变为等式

P[1] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

P[2] = X[1] + X[3] - Y[2] = 2

P[3] = X[3] + X[4] +X[5] - Y[3] = 5

P[4] = X[5] - Y[4] = 3

在上述四个等式上下添加P[0]=0,P[5]=0，每次用下边的式子减去上边的式子，得出

① P[1] - P[0] = X[1] + X[2] - Y[1] = 4

② P[2] - P[1] = X[3] - X[2] -Y[2] +Y[1] = -2

③ P[3] - P[2] = X[4] + X[5] - X[1] - Y[3] + Y[2] =3

④ P[4] - P[3] = - X[3] - X[4] + Y[3] - Y[4] = -2

⑤ P[5] - P[4] = - X[5] + Y[4] = -3

观察发现，每个变量都在两个式子中出现了，而且一次为正，一次为负。所有等式右边和为0。接下来，根据上面五个等式构图。

• 每个等式为图中一个顶点，添加源点S和汇点T。

• 如果一个等式右边为非负整数c，从源点S向该等式对应的顶点连接一条容量为c，权值为0的有向边；如果一个等式右边为负整数c，从该等式对应的顶点向汇点T连接一条容量为c，权值为0的有向边。

• 如果一个变量X[i]在第j个等式中出现为X[i]，在第k个等式中出现为-X[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为V[i]的有向边。

• 如果一个变量Y[i]在第j个等式中出现为Y[i]，在第k个等式中出现为-Y[i]，从顶点j向顶点k连接一条容量为∞，权值为0的有向边。

构图以后，求从源点S到汇点T的最小费用最大流，费用值就是结果。

根据上面的例子可以构造出如下网络，红色的边为每个变量X代表的边，蓝色的边为每个变量Y代表的边，边的容量和权值标已经标出(蓝色没有标记，因为都是容量∞，权值0)。

在这个图中求最小费用最大流，流量网络如下图，每个红色边的流量就是对应的变量X的值。

所以，答案为43+23+3*6=36。

上面的方法很神奇得求出了结果，思考为什么这样构图。我们将最后的五个等式进一步变形，得出以下结果

① - X[1] - X[2] + Y[1] + 4 = 0

② - X[3] + X[2] + Y[2] - Y[1] - 2 = 0

③ - X[4] - X[5] + X[1] + Y[3] - Y[2] + 3 = 0

④ X[3] + X[4] - Y[3] + Y[4] - 2 = 0

⑤ X[5] - Y[4] - 3 = 0

可以发现，每个等式左边都是几个变量和一个常数相加减，右边都为0，恰好就像网络流中除了源点和汇点的顶点都满足流量平衡。每个正的变量相当于流入该顶点的流量，负的变量相当于流出该顶点的流量，而正常数可以看作来自附加源点的流量，负的常数是流向附加汇点的流量。因此可以据此构造网络，求出从附加源到附加汇的网络最大流，即可满足所有等式。而我们还要求最小，所以要在X变量相对应的边上加上权值，然后求最小费用最大流。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 #include<queue>
 #define S 0
 #define T n+2
 using namespace std;
 struct node
 {
     int to,pos,cap,val;
 };
 const int MAXM=+;
 const int MAXN=+;
 const int INF=0x7fffffff;
 int n,m,a[MAXN],s[MAXM],t[MAXM],c[MAXM];
 int pre[MAXN],preedge[MAXN];
 vector<node> E[MAXN];

 void addedge(int u,int v,int ca,int va)
 {
     E[u].push_back((node){v,E[v].size(),ca,va});
     E[v].push_back((node){u,E[u].size()-,,-va});
 }

 int SPFA()
 {
     queue<int> que;
     int vis[MAXN],dis[MAXN];
     memset(vis,,sizeof(vis));
     memset(pre,-,sizeof(pre));
     for (int i=S;i<=T;i++) dis[i]=INF;
     que.push();
     vis[]=;
     dis[]=;
     while (!que.empty())
     {
         int head=que.front();que.pop();
         vis[head]=;
         for (int i=;i<E[head].size();i++)
         {
             node &tmp=E[head][i];
             if (tmp.cap> && dis[tmp.to]>dis[head]+tmp.val)
             {
                 dis[tmp.to]=dis[head]+tmp.val;
                 pre[tmp.to]=head;
                 preedge[tmp.to]=i;
                 if (!vis[tmp.to])
                 {
                     que.push(tmp.to);
                     vis[tmp.to]=;
                 }
             }
         }
     }
     if (dis[T]==INF) return ;else return ;
 } 

 int mcf()
 {
     int flow=;
     int ans=;
     while (SPFA())
     {
         int f=INF;
         for (int i=T;pre[i]!=-;i=pre[i])
         {
             node &tmp=E[pre[i]][preedge[i]];
             f=min(f,tmp.cap);
         }
         for (int i=T;pre[i]!=-;i=pre[i])
         {
             node &tmp=E[pre[i]][preedge[i]];
             tmp.cap-=f;
             E[tmp.to][tmp.pos].cap+=f;
             ans+=f*tmp.val;
         }
     }
     return ans;
 }

 void init()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for (int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
     for (int i=;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&s[i],&t[i],&c[i]);
 }

 void build()
 {
     a[]=a[n+]=;
     for (int i=;i<=n+;i++)
     {
         int c=a[i]-a[i-];
         if (c>) addedge(S,i,c,);
         if (c<) addedge(i,T,-c,);
     }
     for (int i=;i<=m;i++)
         addedge(s[i],t[i]+,INF,c[i]);
     for (int i=;i<=n;i++) addedge(i+,i,INF,);
 }

 int main()
 {
     init();
     build();
     cout<<mcf()<<endl;
     return ;
 }