洛谷P4281 紧急集合 / 聚会

LCA

题目要求找离三个点最近的点，我们先看两个点的情况，自然是找LCA，那么三个点的时候是否与LCA有关呢？

显然，离三个点最近的点一定是在这三个点联通的简单路径上。

可以简单证明一下，假设某个点离a,b,c三个点最近且不在联通这三个点的简单路径上，那么有a,b,c中有两个点一定会经过某个点才能来到该点，换句话说，就是有两个人都要多走一段距离，那为什么不把两个人多走的距离换成让另外一个人走呢？这样显然更优。

而且我们的候选点一定在某两个点的LCA上，同样可以假设改点不在LCA上，那么也可以假设成两个人多走的距离用一个人走来替换，这样我们来到的点又变成了LCA。

再有三个点中每两个点的LCA有三对，必定有两对会重合（三个点的路径只会有两个交点），我们可以发现前面描述的两个点就是这两个不同的LCA。

因此我们的最优点就在不被重合的那个LCA上。

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define full(a, b) memset(a, b, sizeof a)
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int lowbit(int x){ return x & (-x); }
inline int read(){
    int X = 0, w = 0; char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)) { w |= ch == '-'; ch = getchar(); }
    while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return w ? -X : X;
}
inline int gcd(int a, int b){ return a % b ? gcd(b, a % b) : b; }
inline int lcm(int a, int b){ return a / gcd(a, b) * b; }
template<typename T>
inline T max(T x, T y, T z){ return max(max(x, y), z); }
template<typename T>
inline T min(T x, T y, T z){ return min(min(x, y), z); }
template<typename A, typename B, typename C>
inline A fpow(A x, B p, C lyd){
    A ans = 1;
    for(; p; p >>= 1, x = 1LL * x * x % lyd)if(p & 1)ans = 1LL * x * ans % lyd;
    return ans;
}
const int N = 500005;
int n, m, cnt, t, head[N], depth[N], p[N][20];
struct Edge{ int v, next; }edge[N<<1];

void addEdge(int a, int b){
    edge[cnt].v = b, edge[cnt].next = head[a], head[a] = cnt ++;
}

void dfs(int s, int fa){
    depth[s] = depth[fa] + 1;
    p[s][0] = fa;
    for(int i = 1; i <= t; i ++) p[s][i] = p[p[s][i - 1]][i - 1];
    for(int i = head[s]; i != -1; i = edge[i].next){
        int u = edge[i].v;
        if(u == fa) continue;
        dfs(u, s);
    }
}

int lca(int x, int y){
    if(depth[x] < depth[y]) swap(x, y);
    for(int i = t; i >= 0; i --){
        if(depth[p[x][i]] >= depth[y]) x = p[x][i];
    }
    if(x == y) return y;
    for(int i = t; i >= 0; i --){
        if(p[x][i] != p[y][i]) x = p[x][i], y = p[y][i];
    }
    return p[y][0];
}

int main(){

    full(head, -1);
    n = read(), m = read();
    t = (int)(log(n) / log(2)) + 1;
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++){
        int u = read(), v = read();
        addEdge(u, v), addEdge(v, u);
    }
    depth[0] = -1, dfs(1, 0);
    while(m --){
        int a = read(), b = read(), c = read();
        int x = lca(a, b), y = lca(b, c), z = lca(a, c);
        int tmp = 0;
        if(x == y) tmp = z; else if(x == z) tmp = y; else if(y == z) tmp = x;
        printf("%d %d\n", tmp, depth[a] + depth[b] + depth[c] - depth[x] - depth[y] - depth[z]);
    }
    return 0;
}