【BZOJ5211】[ZJOI2018]线图（树哈希，动态规划）

【BZOJ5211】[ZJOI2018]线图（树哈希，动态规划）

题面

BZOJ

洛谷

题解

吉老师的题目是真的神仙啊。

去年去现场这题似乎骗了\(20\)分就滚粗了？

首先\(k=2\)直接算\(k=1\)时的边数就好了。\(k=3\)同理。

这里直接计算每个点的度数就可以做，然后就有\(20\)分了。

我们发现如果企图继续考虑线图应该怎么计算出来，这里是很难做的。

注意到原图是一棵树，所以想想线图和原图之间的关系。

对于做一次线图\(L(G)\)而言，点数显然等于原图的边数。

对于做两次线图\(L^2(G)\)而言，点数就是在\(L(G)\)中的边数。\(L(G)\)中的点在原图中表示边，如果两个点在\(L(G)\)中有边，证明在原图中他们两是有交点的边，即一条长度为\(2\)的路径。

对于做三次线图\(L^3(G)\)而言，即\(L^2(G)\)的边数。而\(L^2(G)\)的边表示他们在\(L(G)\)上是一条长度为\(2\)的边，那么放在原图上，发现可以是一个长度为\(3\)的链，亦或者是三条共点的边。

那么如果继续口胡呢？\(L^4(G)\)是啥呢？那么就是\(L^2(L^2(G))\)。考虑在\(L^2(G)\)上找长度为\(2\)的路径。显然长度为\(4\)的链是可以的，然后四条共点的边也是可以的。其实回到\(L^2(2)\)的边的含义，那么不难发现\(L^4(G)\)也就是原图中两条长度为\(2\)的路径拼起来，如果要拼起来显然要有一个交点，所以实际上就是一棵拥有\(4\)条连在一起的东西，放在一棵树的原图中，就是一个点数为\(5\)的树。

那么这么分析一下，似乎发现前面的\(L(G)\)对应着边数为\(1\)、点数为\(2\)的树。\(L^2(G)\)对应着边数为\(2\)，点数为\(3\)的树。\(L^3(G)\)对应着边数为\(3\)、点数为\(4\)的树......

真的？就这么简单？

然而仔细想想这样子似乎有点锅。因为我们发现在线图的构建过程中是会有环的出现，最简单的例子就是如果\(G\)并不是题目给出的树的话，那么显然原图中的三元环也要计入答案。

所以来改正一下我们的措辞，\(L^k(G)\)的每一个点对应着原图\(G\)中的一个边数不超过\(k\)的联通的导出子图的个数。注意这里的用词，是一个点对应着一个导出子图，而不是每一个导出子图对应着一个点，同时也意味着一个导出子图可能被多个点所对应。

而原图就是一棵树，所以实际上的联通导出子图只可能是一棵树的形态。

对于每个边数不超过\(k\)的子树的贡献太慢了，显然是把每种子树都统计一下个数，然后再对于每种子树计算贡献然后统计答案。

贡献不好算？直接暴力算\(k\)次不就完事了？然而这样子就会发现复杂度单次计算的复杂度很爆炸。

我们发现\(k\)很小的时候可以直接推式子来快速计算，所以我们只需要模拟出一个较小的\(k\)的图然后直接计算。

那么我们来推推式子？假设\(n\)是点数，\(m\)是边数。

对于\(L(G)\)，显然\(ans=m\)。

对于\(L^2(G)\)，\(ans=\sum_{i=1}^n {deg(i)\choose 2}\)

对于\(L^3(G)\)，考虑长度为三的链以及三元环的贡献\(\sum _{(u,v)\in E}(deg(u)-1)*(deg(v)-1)\)，即枚举中间那条边，考虑以这条边的两个端点再延伸出去。然后再考虑一个点挂三条边的贡献，就是\(3\sum_{i=1}^n {deg(i)\choose 3}\)，乘三的原因是这样的三条边在求线图后成环，贡献了三个点。两个式子求和就是\(L^3(G)\)的贡献了。

然后\(L^4(G)\)怎么算？直接算肯定不方便，所以变形一下成了\(L^3(L(G))\)。而\(L(G)\)每个点的度数是很好算的，为\(deg((u,v))=deg(u)+deg(v)-2,(u,v)\in E\)。

而计算\(L^3(G)\)时对于每条边计算贡献时，我们不可能把每条边全部整出来算。这样子考虑，\(L(G)\)中的一个点表示的是\(G\)中的一条边，而\(L(G)\)中的一条边，表示的是原图中的一个长度为\(2\)的链，现在要顺次考虑每一条边的贡献，等价于在原图中考虑每一个长度为\(2\)的链的贡献。而一个长度为\(2\)的链由三个点构成，所以我们枚举其中中间的那个点，那么这两条边都从这个点射出。

所以令\(S(u)\)表示以\(u\)为端点的边\((u,v)\in E\)的所有边的\(deg((u,v))-1\)的和，那么贡献就是\(\frac{1}{2}S(u)^2\)，然而这个东西算重了，每条边在每个端点时都被自己和自己匹配了\(\frac{1}{2}\)次，也就是一共被多算了\(1\)次，所以还需要减去\(\sum_{(u,v)\in E}(deg((u,v))-1)^2\)。

所以\(L^4(G)\)的答案就是\(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n S(i)^2-\sum_{i=1}^m (deg(i)-1)^2+3\sum_{i=1}^m{deg(i)\choose 3}\)。

再往后似乎也能继续推，但是也没有什么必要了。

好的，那么现在我们要做的就是两个事情，统计每种边数不超过\(k\)的树的贡献，以及它在原树中的出现次数。

我们先考虑怎么求解边数不超过\(k\)的树的贡献，可以类似括号序列的方法爆搜树，左括号表示当前点加入一个儿子，右括号表示回到父亲，但是这样会计算出同构的树，所以再树哈希一下去重。

那么我们计算一棵树\(T\)的\(L^k(T)\)的点数，就是前文所说的，只需要模拟出\(L^{k-4}(T)\)，然后直接计算即可。

接着是考虑如何计算贡献，显然就是对于当前联通块而言减去其所有联通导出子图的贡献，这个容斥处理即可。

然后就是对于每棵搜出来的树，如何计算它在原树上的出现次数。

我们来做一个\(dp\)，设\(f[i][r]\)表示以原树上的\(i\)节点为根节点，当前点可以匹配上目标树上的\(r\)的子树的方案数。

转移的时候枚举当前点匹配目标树上的哪个节点，那么它的儿子就要和目标树上枚举的这个节点对应，这个直接\(dp\)就好了。注意一个小问题，因为子树是可以同构的，所以这里要考虑可重排列的贡献。

当然，如果直接暴力\(dp\)复杂度是比较难接受的，这里做一个小小的优化，把目标树上的叶子节点全部删掉，在匹配完之后再考虑当前点挂的叶子节点，这样子可以直接用一个组合数计算方案数，同时可以把这里要求解的点数优化很多。

本机\(2.2s\)，洛谷和\(LOJ\)都能过，\(UOJ\)我卡不动了，\(BZOJ\)今天挂了，所以就这样了。

upd：BZOJ上莫名CE。。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define inv2 499122177
#define ull unsigned int
#define MAX 5050
void halt(){exit(0);}
inline int read()
{
    int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int n,k,ans;
int S[MAX*2000],dg[MAX*2000];
int C[MAX][15],JC[15];
const ull base1=998,base2=244,base3=353;
struct Graph
{
	struct Line{int v,next;}e[MAX*2000];
	int h[MAX*2000],cnt,n;
	void pre(int N){n=N;cnt=2;for(int i=1;i<=n;++i)h[i]=0;}
	inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
	int Calc4()
	{
		int ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)dg[i]=S[i]=0;
		for(int u=1;u<=n;++u)
			for(int i=h[u];i;i=e[i].next)dg[e[i].v]+=1;
		for(int u=1;u<=n;++u)
			for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
				S[u]+=dg[u]+dg[e[i].v]-3;
		for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*S[i]*S[i])%MOD;
		ans=1ll*ans*inv2%MOD;
		for(int i=2;i<cnt;i+=2)
		{
			int d=dg[e[i].v]+dg[e[i^1].v]-2;
			ans=(ans+MOD-(d-1)*(d-1))%MOD;
			ans=(ans+1ll*d*(d-1)*(d-2)/2)%MOD;
		}
		return ans;
	}
}T,E[2];
int lg[MAX],bul[MAX];
int lb(int x){return x&(-x);}
struct Tree
{
	ull f[15],Q[15];int n,E[15],size[15],jc[15];
	void Add(int u,int v){E[u]|=1<<v;E[v]|=1<<u;}
	void Resize(int u,int ff)
	{
		size[u]=1;
		for(int i=E[u];i;i-=lb(i))
			if(lg[lb(i)]!=ff)
				Resize(lg[lb(i)],u),size[u]+=size[lg[lb(i)]];
	}
	void dfs(int u,int ff)
	{
		size[u]=1;
		for(int i=E[u];i;i-=lb(i))
			if(lg[lb(i)]!=ff)
				dfs(lg[lb(i)],u),size[u]+=size[lg[lb(i)]];
		int son=0;for(int i=E[u];i;i-=lb(i))Q[++son]=f[lg[lb(i)]];
		sort(&Q[1],&Q[son+1]);f[u]=size[u];jc[u]=1;Q[son+1]=Q[son]+1;
		for(int i=1;i<=son;++i)f[u]=f[u]*base1+Q[i];Q[0]=Q[1]+1;
		for(int i=1,s=1,cnt=1;i<=son+1;++i)
			if(Q[i]==Q[i-1])++cnt,s=1ll*s*cnt%MOD;
			else jc[u]=1ll*jc[u]*s%MOD,cnt=s=1;
		jc[u]=fpow(jc[u],MOD-2);
		f[u]*=size[u]*base2+base3;
	}
	int sz[15];ull F[15];
	void CalcHash(int u,int ff,int S,int &T)
	{
		sz[u]=1;T|=1<<u;
		for(int i=E[u]&S;i;i-=lb(i))
			if(lg[lb(i)]!=ff)
				CalcHash(lg[lb(i)],u,S,T),sz[u]+=sz[lg[lb(i)]];
		int son=0;for(int i=E[u]&S;i;i-=lb(i))Q[++son]=F[lg[lb(i)]];
		sort(&Q[1],&Q[son+1]);F[u]=sz[u];
		for(int i=1;i<=son;++i)F[u]=F[u]*base1+Q[i];
		F[u]*=sz[u]*base2+base3;
	}
	void Hash(){dfs(0,0);}
	int check(int S)
	{
		int mx=lg[lb(S)];
		for(int i=0;i<n;++i)if(S&(1<<i))if(size[mx]<size[i])mx=i;
		int vis=0;CalcHash(mx,0,S,vis);return vis==S?mx:-1;
	}
	void clear(){for(int i=0;i<15;++i)E[i]=size[i]=sz[i]=F[i]=f[i]=jc[i]=Q[i]=0;}
};
void SpecialCheck()
{
	int ans=0;
	if(k==1)printf("%d\n",n-1),halt();
	if(k==2)
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*dg[i]*(dg[i]-1)/2)%MOD;
		printf("%d\n",ans);halt();
	}
	if(k==3)
	{
		for(int i=2;i<T.cnt;i+=2)
		{
			int d=dg[T.e[i].v]+dg[T.e[i^1].v]-2;
			ans=(ans+1ll*d*(d-1)/2)%MOD;
		}
		printf("%d\n",ans);halt();
	}
	if(k==4)printf("%d\n",T.Calc4()),halt();
}
void GetLineGraph(Graph &a,Graph &b)
{
	int N=0;
	for(int u=1;u<=a.n;++u)
		for(int i=a.h[u];i;i=a.e[i].next)N+=1;
	N/=2;b.pre(N);
	for(int u=1;u<=a.n;++u)
		for(int i=a.h[u];i;i=a.e[i].next)
			for(int j=a.e[i].next;j;j=a.e[j].next)
				b.Add(i>>1,j>>1),b.Add(j>>1,i>>1);
}
map<ull,int> M;
int CalcNode(int k)
{
	int nw=0,pw=1;k-=4;
	while(k--)GetLineGraph(E[nw],E[pw]),nw^=1,pw^=1;
	return E[nw].Calc4();
}
int CalcValue(Tree &a,int k)
{
	a.Hash();E[0].pre(a.n);
	for(int i=0;i<a.n;++i)
		for(int j=a.E[i];j;j-=lb(j))
			E[0].Add(i+1,lg[lb(j)]+1),E[0].Add(lg[lb(j)]+1,i+1);
	int ret=CalcNode(k);
	for(int i=1;i<(1<<a.n)-1;++i){int p=a.check(i);if(~p)if(M.find(a.F[p])!=M.end())ret=(ret+MOD-M[a.F[p]])%MOD;}
	return M[a.f[0]]=ret;
}
int leaf[15],f[MAX][15];
bool Leaf[15];
Tree now;int pre[MAX];
void dfs(int u,int ff)
{
	int son=0;
	for(int i=T.h[u];i;i=T.e[i].next)
		if(T.e[i].v!=ff)++son,dfs(T.e[i].v,u);
	for(int i=0;i<now.n;++i)
	{
		if(Leaf[i])continue;
		if(son<bul[now.E[i]]){f[u][i]=0;continue;}
		for(int j=now.E[i];j;j=(j-1)&now.E[i])pre[j]=0;
		pre[0]=1;
		for(int j=T.h[u];j;j=T.e[j].next)
		{
			if(T.e[j].v==ff)continue;
			for(int k=now.E[i];k;k=(k-1)&now.E[i])
				for(int p=k;p;p-=lb(p))
					pre[k]=(pre[k]+1ll*pre[k^lb(p)]*f[T.e[j].v][lg[lb(p)]])%MOD;
		}
		f[u][i]=1ll*pre[now.E[i]]*now.jc[i]%MOD*C[son-bul[now.E[i]]][leaf[i]]%MOD*JC[leaf[i]]%MOD;
	}
}
int CalcTimes(Tree &a)
{
	now=a;
	for(int i=0;i<a.n;++i)leaf[i]=0,Leaf[i]=false;
	for(int i=0;i<a.n;++i)
		for(int j=a.E[i];j;j-=lb(j))
			if(a.size[lg[lb(j)]]==1)
				++leaf[i],now.E[i]^=lb(j);
	for(int i=0;i<a.n;++i)if(a.size[i]==1)Leaf[i]=true;
	now.Resize(0,0);dfs(1,0);int ret=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)ret=(ret+f[i][0])%MOD;
	return ret;
}
int St[MAX<<1],fa[MAX];
set<ull> Vis;
Tree p;
void dfsTrees(int x,int c,int sp,int lim)
{
	if(x==(lim-1)*2+1)
	{
		int now=0,tot=0;p.clear();
		for(int i=1;i<x;++i)
			if(St[i]==1)p.E[now]|=1<<(++tot),fa[tot]=now,now=tot;
			else now=fa[now];
		p.n=lim;p.Hash();
		if(Vis.find(p.f[0])!=Vis.end())return;Vis.insert(p.f[0]);
		ans=(ans+1ll*CalcValue(p,k)*CalcTimes(p))%MOD;
		return;
	}
	if(c)St[x]=-1,dfsTrees(x+1,c-1,sp,lim);
	if(sp<lim-1)St[x]=1,dfsTrees(x+1,c+1,sp+1,lim);
}
int main()
{
	n=read();k=read();T.pre(n);
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int u=read(),v=read();dg[u]+=1,dg[v]+=1;
		T.Add(u,v),T.Add(v,u);
	}
	SpecialCheck();
	for(int i=2;i<MAX;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<MAX;++i)bul[i]=bul[i^lb(i)]+1;
	for(int i=0;i<MAX;++i)C[i][0]=1;JC[0]=1;
	for(int i=1;i<15;++i)JC[i]=1ll*JC[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<MAX;++i)
		for(int j=1;j<=i&&j<15;++j)
			C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%MOD;
	for(int i=1;i<=k+1;++i)dfsTrees(1,0,0,i),Vis.clear();
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}