CF980E The Number Games

CF980E The Number Games

给定一棵大小为 \(n\) 的树，第 \(i\) 个点的点权为 \(2^i\) ，删掉 \(k\) 个点及其连边，使得剩下的点组成一个连通块，且权值和最大，输出要删掉的点

\(n,\ k\leq10^6\)

贪心，倍增，dfs序

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很容易想到一个贪心：不断删掉能被删除且权值最小的点，用堆实现

但很明显这是错的：局部最优 \(\neq\) 全局最优

因为点权为 \(2^i\) ，所以与其选择 \(1,\ 2,\ \cdots,\ i-1\) 不如选 \(i\) 这一个点

考虑这样一个 \(O(n^2)\) 贪心：从大往小确定不被删的点。以 \(n\) 为根，若当前枚举到的节点可选则将根到这个点的路径上的所有点都选掉

可以发现，问题转化为了快速求出一个点是否可选，并标记路径

因为最多会标记 \(n-1\) 条路径，所以可以暴力标记，倍增查询

时间复杂度 \(O(n\log n)\) ，空间复杂度 \(O(n\log n)\)

原操作还有另一种实现方式：树状数组维护dfs序上每个点的距离，标记路径时修改子树内答案

这种做法虽然略显繁琐，但是不失为一种常用的高效算法

时间复杂度 \(O(n\log n)\) ，空间复杂度 \(O(n)\)

倍增代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 10;
int n, k, fa[21][maxn]; bool vis[maxn];
vector <int> e[maxn];

void dfs(int u, int f) {
  fa[0][u] = f;
  for (int i = 1; i < 21; i++) {
    fa[i][u] = fa[i - 1][fa[i - 1][u]];
  }
  for (int v : e[u]) {
    if (v != f) dfs(v, u);
  }
}

int lca(int u) {
  int res = 0;
  for (int i = 20; ~i; i--) {
    if (!vis[fa[i][u]]) {
      u = fa[i][u], res |= 1 << i;
    }
  }
  return res;
}

int main() {
  scanf("%d %d", &n, &k);
  for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
    scanf("%d %d", &u, &v);
    e[u].push_back(v), e[v].push_back(u);
  }
  dfs(n, 0), vis[0] = 1;
  int tmp = n - k;
  for (int i = n; i; i--) {
    int t = lca(i);
    if (t < tmp) {
      int cur = i;
      while (!vis[cur]) {
        vis[cur] = 1, tmp--, cur = fa[0][cur];
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    if (!vis[i]) printf("%d ", i);
  }
  return 0;
}

dfs序+树状数组代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 10;
int n, k, now, a[maxn], c[maxn], sz[maxn], fa[maxn], tid[maxn], dep[maxn]; bool vis[maxn];
vector <int> e[maxn];

void upd(int pos, int x) {
  for (; pos <= n; pos += pos & -pos) {
    c[pos] += x;
  }
}

int query(int pos) {
  int res = 0;
  for (; pos; pos &= pos - 1) {
    res += c[pos];
  }
  return res;
}

int dfs(int u, int f) {
  a[++now] = u, tid[u] = now, fa[u] = f, dep[u] = dep[f] + 1;
  for (int v : e[u]) {
    if (v != f) sz[u] += dfs(v, u);
  }
  return ++sz[u];
}

int main() {
  scanf("%d %d", &n, &k);
  for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
    scanf("%d %d", &u, &v);
    e[u].push_back(v), e[v].push_back(u);
  }
  dfs(n, 0), upd(1, -1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    upd(i, dep[a[i]] - dep[a[i - 1]]);
  }
  int tmp = n - k; vis[0] = 1;
  for (int i = n; i; i--) {
    if (query(tid[i]) < tmp) {
      for (int cur = i; !vis[cur]; tmp--, vis[cur] = 1, cur = fa[cur]) {
        upd(tid[cur], -1), upd(tid[cur] + sz[cur], 1);
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    if (!vis[i]) printf("%d ", i);
  }
  return 0;
}