Codechef CNTL Counting is life 生成函数

传送门——Vjudge

---

第一问很氵，如果\(K,N\)同奇偶就是\(2^K-1\)，否则就是\(2^K-2\)

第二问似乎是可重排列，考虑指数型生成函数。

如何限制某些数必须要出现奇数/偶数次？考虑\(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)，可以发现它的展开式中只有次数为奇数的项有值，而\(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)只有次数为偶数的项有值。

于是当\(K,N\)同奇偶时答案是\(N!(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^K\)，否则是\(N!(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^{K-1}\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

暴力二项式定理拆开\((\frac{e^x - e^{-x}}{2})^K\)就可以算了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
	int a = 0;
	char c = getchar();
	while(!isdigit(c))
		c = getchar();
	while(isdigit(c)){
		a = a * 10 + c - 48;
		c = getchar();
	}
	return a;
}

const int MOD = 1e9 + 7;
inline int poww(long long a , int b){
	int times = 1;
	a = (a + MOD) % MOD;
	while(b){
		if(b & 1) times = times * a % MOD;
		a = a * a % MOD;
		b >>= 1;
	}
	return times;
}

const int MAXN = 1e5 + 7;
int T , N , K , jc[MAXN] , inv[MAXN];

void init(){
	jc[0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= 1e5 ; ++i)
		jc[i] = 1ll * jc[i - 1] * i % MOD;
	inv[100000] = poww(jc[100000] , MOD - 2);
	for(int i = 1e5 - 1 ; i >= 0 ; --i)
		inv[i] = inv[i + 1] * (1ll + i) % MOD;
}

int binom(int b , int a){
	return b < a ? 0 : 1ll * jc[b] * inv[a] % MOD * inv[b - a] % MOD;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in","r",stdin);
	//freopen("out","w",stdout);
#endif
	init();
	for(T = read() ; T ; --T){
		N = read(); K = read();
		if((N ^ K) & 1){
			cout << poww(2 , K) - 2 << ' ';
			int ans = 0;
			for(int i = 0 ; i < K ; ++i)
				ans = (ans + (i & 1 ? -1ll : 1ll) * binom(K - 1 , i) * (poww(K - 1 - 2 * i + 1 , N) + poww(K - 1 - 2 * i - 1 , N)) % MOD + MOD) % MOD;
			cout << 1ll * ans * poww(poww(2 , K) , MOD - 2) % MOD << '\n';
		}
		else{
			cout << poww(2 , K) - 1 << ' ';
			int ans = 0;
			for(int i = 0 ; i <= K ; ++i)
				ans = (ans + (i & 1 ? -1ll : 1ll) * binom(K , i) * poww(K - 2 * i , N) % MOD + MOD) % MOD;
			cout << 1ll * ans * poww(poww(2 , K) , MOD - 2) % MOD << '\n';
		}
	}
	return 0;
}