2019暑期金华集训 Day7 分治

自闭集训 Day7

分治

主定理

由于我沉迷调题，这个地方没听课。

某些不等式

咕了

nth_element

使用快速排序的思想，选一个中间点，看左右有多少个。

期望复杂度\(O(n)\)。

首先把一个序列分成5份，每份大小\(n/5\)，叠成一个矩阵，对每一列进行排序。

现在中间一行就是每一列的中位数，递归下去求它的中位数。

然后把中位数比他小的列放左边，比他大的放右边。

于是我们知道至少\(0.3n\)比他小/比他大，也就是至多\(0.7n\)比他小/比他大。

于是我们找到了一个比较好的轴点，用上面的方法分治下去。

然后就\(T(n)=T(0.2n)+T(0.7n)+O(n)=O(n)\)。

但这个算法常数巨大……

CF958E3

首先有结论：任意\(2n\)个点都存在合法方案。

为什么？考虑某个不合法方案的交叉，可以把边扭一下，于是总长度会变小。又因为总长度不可能无限减小，于是就有了。

然后怎么求答案呢？

咕了

CF429D

明眼人一眼就看出这是个距离的形式，然后就变成平面最近点对了……

我可能就是瞎……

CF938G

裸线段树分治+并查集+线性基。

某题

点数减边数裸题。

显然对于一个点集，满足条件的点\(u\)构成一个连通快（即一棵树），又因为树的点数减边数为1，所以直接统计即可。

CF1010F

怎么就讲过了啊/kk

令\(b_i=w_i-\sum_v w_v\)，于是条件等价于\(b_i\ge 0​\)。

对于一个合法连通块，\(\sum b_i=X\)。

于是就可以开始对\(b_i\)计数了。

于是只要定下了连通块大小为\(m\)，方案数就是\({X+m-1\choose m-1}\)。

于是就转化为原来的一道题了，就做完了。

某题

支持动态加有向边、查询相互可达的\((u,v)\)个数。

我们发现动态维护强连通分量似乎非常不可做，所以可以对于每一条边\((u,v)\)，判断\(u,v\)什么时候会在同一个强连通分量里面。

显然这个东西满足单调性，但数据范围不允许我们挨个二分，所以我们使用整体二分。

定义函数\(solve(l,r,ql,qr)\)表示已知\([ql,qr]\)里面的边的时间都在\([l,r]\)里面，现在要求出每条边的时间。

二分一个\(mid=(l+r)/2\)，然后把\([1,mid]\)里面的边都加进图里跑tarjan，这是最暴力的方法，显然过不了。但是我们注意到只要在递归\([l,mid]\)之后不把边清空，就可以只加\([l,mid]\)的边，然后用并查集缩一下点，复杂度就对了。

某题

做过，但咕了！

考虑把起点从上到下走，维护最短路树，那么可以感受到树上的父亲一定是从上变成左，再变成下，最多变两次。

然后如果一条边在\([l,r]\)没有变，那么可以缩起来。

于是就整体二分然后？？？

离线求逆元

求一个前缀积，然后大家都会。

树上并查集

树上分块+四毛子。

（四毛子似乎是一个叫做四个俄罗斯人的算法？）

然后就做到线性了？？

咕了

Trajan LCA

离线lca，用树上并查集可以优化至\(O(n)\)？