洛谷 P2469 [SDOI2010]星际竞速 解题报告

题目描述

10年一度的银河系赛车大赛又要开始了。作为全银河最盛大的活动之一，夺得这个项目的冠军无疑是很多人的梦想，来自杰森座α星的悠悠也是其中之一。

赛车大赛的赛场由N颗行星和M条双向星际航路构成，其中每颗行星都有一个不同的引力值。大赛要求车手们从一颗与这N颗行星之间没有任何航路的天体出发，访问这N颗行星每颗恰好一次，首先完成这一目标的人获得胜利。

由于赛制非常开放，很多人驾驶着千奇百怪的自制赛车来参赛。这次悠悠驾驶的赛车名为超能电驴，这是一部凝聚了全银河最尖端科技结晶的梦幻赛车。作为最高科技的产物，超能电驴有两种移动模式：高速航行模式和能力爆发模式。在高速航行模式下，超能电驴会展开反物质引擎，以数倍于光速的速度沿星际航路高速航行。在能力爆发模式下，超能电驴脱离时空的束缚，使用超能力进行空间跳跃——在经过一段时间的定位之后，它能瞬间移动到任意一个行星。

天不遂人愿，在比赛的前一天，超能电驴在一场离子风暴中不幸受损，机能出现了一些障碍：在使用高速航行模式的时候，只能由每个星球飞往引力比它大的星球，否则赛车就会发生爆炸。

尽管心爱的赛车出了问题，但是悠悠仍然坚信自己可以取得胜利。他找到了全银河最聪明的贤者——你，请你为他安排一条比赛的方案，使得他能够用最少的时间完成比赛。

　　　　　　　　　　　　--by luogu

http://daniu.luogu.org/problem/show?pid=2469

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一开始，并不知道怎么搞；

后来听说和最小路径覆盖有关，然后就问了最小路径覆盖是怎么搞的......然后就想出来这题怎么做了；

建图：

• 拆点
• S连所有一排点，1流0费；
• S连所有二排点，1流跳跃的费用（1类边）；
• 一排点向有路径且可到达的点连边，1流路径费用（2类边）；
• 所有二排点连T点，1流0费；

由于所有点至少可以跳跃到达，于是最大流为n，保证了遍历；

考虑每个点的花费：

1要么由跳跃到达，这样花费1类边，跳跃不受起点影响，所以可认为是从S跳过来的

2要么由某个点经边到达，这样花费2类边，不管怎样边的起点一定到达过，于是直接从S连一排点，一排点连二排点

对于2，细致的讨论一下：

因为题目说编号对边方向有限制作用，于是不用担心边起点在终点遍历后再遍历

本题与最小路径覆盖的相通之处——把路径拆成一条一条边，由于每条使用时都已经有了充足前置条件，所以可以这样做；

代码如下：（极烂的代码，还是折叠了吧）

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define INF 2147483600
 using namespace std;
 int n,m,s,t;
 struct ss{
     int next,wi,fi,to,cp;
 }x[];
 int first[];
 int num;
 int dis[],vis[],pre[],way[],que[];
 int answ,ansf;
 void build(int ,int ,int ,int );
 int spfa();
 void EK();
 int main()
 {
     int i,j,k,l,o,m;
     scanf("%d%d",&n,&m);
     s=,t=n<<|;
     for(i=;i<=n;i++){
         scanf("%d",&j);
         build(s,i+n,,j);
         x[num].cp=num+;
         build(i+n,s,,-j);
         x[num].cp=num-;
         build(s,i,,);
         x[num].cp=num+;
         build(i,s,,);
         x[num].cp=num-;
         build(n+i,t,,);
         x[num].cp=num+;
         build(t,n+i,,);
         x[num].cp=num-;
     }
     for(i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d",&j,&k,&o);
         if(j>k)
             swap(j,k);
         build(j,n+k,,o);
         x[num].cp=num+;
         build(n+k,j,,-o);
         x[num].cp=num-;
     }
     while(spfa())
         EK();
     printf("%d",ansf);
     return ;
 }
 void build(int fr,int t,int w,int f){
     x[++num].next=first[fr];
     x[num].to=t;    x[num].fi=f;    x[num].wi=w;
     first[fr]=num;
 }
 int spfa(){
     int h=,w=,i;
     for(i=s;i<=t;i++)
         dis[i]=;
     memset(vis,,sizeof(vis));
     memset(pre,-,sizeof(pre));
     dis[s]=;vis[s]=;
     que[w]=s;
     while(h<w){
         h++;
         vis[que[h]]=;
         i=first[que[h]];
         while(i){
             if(x[i].wi&&dis[x[i].to]>dis[que[h]]+x[i].fi){
                 dis[x[i].to]=dis[que[h]]+x[i].fi;
                 pre[x[i].to]=que[h];
                 way[x[i].to]=i;
                 if(vis[x[i].to]==){
                   w++;
                   que[w]=x[i].to;
                   vis[que[w]]=;
                 }
             }
             i=x[i].next;
         }
     }
     if(dis[t]!=)return ;
     return ;
 }
 void EK(){
     int i=t;
     int addf=,addw=INF;
     while(pre[i]!=-){
         if(x[way[i]].wi<addw)
             addw=x[way[i]].wi;
         i=pre[i];
     }
     i=t;
     while(pre[i]!=-){
         addf+=x[way[i]].fi*addw;
         x[way[i]].wi-=addw;
         x[x[way[i]].cp].wi+=addw;
         i=pre[i];
     }
     answ+=addw;
     ansf+=addf;
 }

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