【bzoj4321】queue2 dp

题目描述

n 个沙茶，被编号 1~n。排完队之后，每个沙茶希望，自己的相邻的两人只要无一个人的编号和自己的编号相差为 1（+1 或-1）就行； 

现在想知道，存在多少方案满足沙茶们如此不苛刻的条件。 

输入

只有一行且为用空格隔开的一个正整数 N，其中 100%的数据满足 1≤N ≤ 1000; 

输出

一个非负整数，表示方案数对 7777777 取模。   

样例输入

4

样例输出

2

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题解

dp

老套路了，考虑把数从小到大插入的过程进行dp。

设 $f[i][j]$ 表示 $1\sim i$ 的排列，有 $j$ 组相邻的相差1，且 $i$ 和 $i-1$ 不相邻的方案数；
设 $g[i][j]$ 表示 $1\sim i$ 的排列，有 $j$ 组相邻的相差1，且 $i$ 和 $i-1$ 相邻的方案数。

那么考虑插入 $i+1$ 的位置，有：不破坏空位且不与 $i$ 相邻、不破坏空位且与 $i$ 相邻、破坏空位且不与 $i$ 相邻、破坏空位且与 $i$ 相邻（只发生在 $g$ 的转移）4种。分别推一下方案数即可。

最后的答案就是 $f[n][0]$ 。

时间复杂度 $O(n^2)$ 。

另外把前几项丢到oeis上可以得到线性递推式 $a_n=(n+1)a_{n-1}-(n-2)a_{n-2}-(n-5)a_{n-3}+(n-3)a_{n-4}$ ，就能 $O(n)$ 求解了，感觉像是某容斥然而并不能推出来...

#include <cstdio>
#define mod 7777777
long long f[1010][1010] , g[1010][1010];
int main()
{
	int n , i , j;
	scanf("%d" , &n);
	f[1][0] = 1;
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ )
	{
		for(j = 0 ; j < i ; j ++ )
		{
			f[i + 1][j] = (f[i + 1][j] + f[i][j] * (i - j - 1)) % mod;
			g[i + 1][j + 1] = (g[i + 1][j + 1] + f[i][j] * 2) % mod;
			if(j) f[i + 1][j - 1] = (f[i + 1][j - 1] + f[i][j] * j) % mod;
			f[i + 1][j] = (f[i + 1][j] + g[i][j] * (i - j)) % mod;
			g[i + 1][j + 1] = (g[i + 1][j + 1] + g[i][j]) % mod;
			if(j) f[i + 1][j - 1] = (f[i + 1][j - 1] + g[i][j] * (j - 1)) % mod;
			g[i + 1][j] = (g[i + 1][j] + g[i][j]) % mod;
		}
	}
	printf("%lld\n" , f[n][0]);
	return 0;
}