poj2914-Minimum Cut

题意

\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向带权图求全局最小割。\(n\le 500,m\le \frac{n(n-1)}{2}\) 。

分析

参考了 这篇博客，去给他点赞。

嘛，今天研究了一下全局最小割。

全局最小割是什么呀？

运用经典的最大流最小割，我们可以在网络流复杂度内求出对于两个点 \(s,t\) ，把图分成 \(s\in S\) 集和 \(t\in T\) 集的需要去掉的最小边权和。我们称这种割为对于一组点 \((s,t)\) 的 \(s-t\) 割。

全局最小割，就是把整个无向图割开，却不指定怎么割，求最小边权和。

用之前的方法，\(O(n*网络流)\) 可以分治得到最小割树，从而求出任意两点间的最小割，那么取最小边权就是答案。但已知理论复杂度比较优秀的网络流算法复杂度也达到 \(O(n^2\sqrt m)\) （最高标号预留推进），再乘上 \(n\) ，这是一个很高的复杂度。

是否有办法优化呢？这个问题中 不指定要割什么 这个条件并没有用上，可以从这里入手。

下面就来介绍全局最小割的 Stoer-Wagner 算法。

整体思路

解决这个问题，有一个关键的性质需要利用。

设 \(s,t\) 为图中两点，那么在任意一个割中，它们要么在同一个集合中，要么在不同的集合中。

算法的整体思路是，我们不指定割开哪两个点，而是设计一个函数 \(f(G)\) ，返回一个三元组 \((s,t,c)\) ，表示这个图中 \((s,t)\) 的最小割为 \(c\) 。注意，这个函数告诉我们它割开哪两个点，而不是我们告诉它 。利用上面的性质，要么这个图的全局最小割要么就是 \(c\) ，要么 \(s,t\) 在同一集合中。

为什么是这样呢？显然图的全局最小割一定小于等于 \(c\) ，若全局最小割下 \(s,t\) 在不同集合中，而全局最小割却小于 \(c\) ，那么必然存在更小的 \(s-t\) 割，这与 \(c\) 是 \(s-t\) 最小割矛盾。

我们把答案对 \(c\) 取 \(\min\)，接下来就讨论 \(s,t\) 在同一集合中的情况。若是这样，那么其实可以把 \(s,t\) 并起来，因为 \(s\) 与 \(t\) 中间的边是不会割掉的。所以就把 \(s,t\) 并起来，把边合并就好啦！

这样进行，直到图中只剩下一个点，我们就得到了答案。显然上面的过程进行了 \(n-1\) 次，所以复杂度为 \(O(n(m+f))\) 。接下来只要我们能够有一个函数，快速地告诉我们一对点间的最小割，问题就解决啦。

函数 \(f(G)\)

算法流程

• 有一个空集 \(A\) ，最开始在 \(G\) 中任意找一个点放进 \(A\) 。
• 不断在 \(G\) 中找到一个点 \(v\notin A\) 使得它到 \(A\) 中所有连边权值和最大，把这个点加入 \(A\) ，直到 \(A=V\) 。
• 倒数第二个加入 \(A\) 和最后加入 \(A\) 的两点即分别为 \(s,t\) ，它们的最小割是 \(t\) 到 \(V-\lbrace t \rbrace\) 的边权和。

下面证明这个算法的正确性。实际上要说明的是，对于任意一个点集的划分 \(V=S+T\) 使得 \(s\in S,t\in T\) ，有 \(cut(V-\lbrace t\rbrace,\lbrace t\rbrace)\le cut(S,T)\) 。

一些记号

• \(w(e)\) ，边 \(e\) 的权值；\(w(x,y)\) ，边 \((x,y)\) 的权值
• \(w(S,x)=\sum _{v\in S,(x,v)\in E}w(x,v)\)
• \(C\) ，对于点集的划分 \(S,T\) 的最小割
• \(a\) ，加入 \(A\) 的点的序列，\(a_i\) 表示第 \(i\) 个加入 \(A\) 的点
• \(A_x\) ，加入 \(x\) 之前加入 \(A\) 的点的集合，不包含 \(x\)
• \(C_x\) ，\(\lbrace (u,v)|u,v\in A_x\cap\lbrace x\rbrace,(u,v)\in C\rbrace\) 。此处 \(C\) 就是上面的那个，即 \(C\) 在 \(A_x\cap \lbrace x\rbrace\) 中的诱导割。
• \(B\setminus C\) ，\(B\) 集合中去掉集合 \(C\) 剩下的集合，即 \(C\) 在 \(B\) 中的补集。

接下来要证明，对于所有点 \(v\) 满足 \(a\) 中排 \(v\) 前面的点与 \(v\) 不在割 \(C\) 的同一侧，有 \(w(A_v,v)\le C_v\) 。若能得到这个，由于 \(t\) 是满足这个条件的，就有 \(w(A_t,t)=w(V-\lbrace t\rbrace,t)=cut(V-\lbrace t\rbrace,\lbrace t\rbrace)\le C_t\) ，即得到上面的结论。

对第一个满足条件的 \(v\) ，等号成立，因为 \(v\) 是第一个不与前面在同一集合中的点，所以 \(C_v\) 就是 \(w(A_v,v)\) ，这些边是一定要割掉的。下面对 \(v\) 用归纳法。

设对于一个满足条件的 \(v\) 以及前面满足条件的点，结论都成立，那么对于 \(v\) 的下一个点 \(u\) ，说明这个结论成立。

首先有 \(w(A_u,u)=w(A_v,u)+w(A_u\setminus A_v,u)\) ，这是显然的，因为它是对集合 \(A_u\) 的一个划分。

由归纳假设可得，\(w(A_v,v)\le C_v\) ，又因为算法过程告诉我们 \(u\) 在 \(v\) 后面加入，所以在加入 \(v\) 之前一刻，\(v\) 与 \(A_v\) 的连边权值和大于 \(u\) 与 \(A_v\) 连边的权值和，所以有 \(w(A_v,u)\le w(A_v,v)\) ，于是得到：

\[\begin{aligned}
w(A_v,u)\le w(A_v,v)\le C_v && (1)
\end{aligned}
\]

\(C_u\) 的含义，是在一个 \((S,T)\) 割中要把 \(A_u\cap \lbrace u\rbrace\) 割成两部分的那部分。这一定包含了 \(C_v\) ，因为 \(v\) 与之前的那个也不再同一个集合中。\(w(A_u\setminus A_v,u)\) 一定是要割掉的，否则就无法保证 \(u\) 与之前的那个不在同一集合中。于是得到：

\[\begin{aligned}
C_v+w(A_u\setminus A_v,u)\le C_u && (2)
\end{aligned}
\]

联立上两式，得到：

\[w(A_u,u)=w(A_v,u)+w(A_u\setminus A_v,u)\le C_u
\]

这样我们证明了结论。

函数 \(f\) 的复杂度直接做是 \(O(m+n^2)\) ，可以用斐波那契堆优化到 \(O(m+n\log n)\) （普通堆是 \(O((m+n)\log n)\) ，在稠密图中与 \(O(m+n^2)\) 没有什么区别）。因此整个算法的复杂度为 \(O(nm+n^3)\) 或 \(O(nm+n^2\log n)\) 。

代码

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define M(x) memset(x,0,sizeof x)
using namespace std;
inline int read() {
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
	for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int maxn=1e3+1;
int n,m;
namespace graph {
	int d[maxn],f[maxn][maxn],ed;
	bool no[maxn],ina[maxn];
	inline void clear() {M(no),M(f);}
	inline void add(int x,int y,int w) {
		f[x][y]+=w;
	}
	void newlink(int nw,int s,int t) {
		for (int v=1;v<=ed;++v) if (!no[v] && v!=t) {
			add(nw,v,f[s][v]);
			add(v,nw,f[s][v]);
		}
	}
	inline void push(int x) {
		ina[x]=true;
		for (int v=1;v<=ed;++v) if (!no[v] && !ina[v]) d[v]+=f[x][v];
	}
	int glob(int cs,int &s,int &t) {
		M(d),M(ina);
		int a;
		for (a=1;a<=ed && (no[a] || ina[a]);++a);
		push(t=a);
		while (cs--) {
			int p=0;
			for (int i=1;i<=ed;++i) if (!no[i] && !ina[i] && d[i]>d[p]) p=i;
			s=t,t=p;
			push(p);
		}
		return d[t];
	}
	int run() {
		int ret=INT_MAX,here=(n-1)<<1;
		for (ed=n;ed<=here;++ed) {
			int s=0,t=0,g=glob((n<<1)-ed-1,s,t);
			ret=min(ret,g);
			int nw=ed+1;
			newlink(nw,s,t);
			newlink(nw,t,s);
			no[s]=no[t]=true;
		}
		return ret;
	}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
#endif
	while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {
		graph::clear();
		for (int i=1;i<=m;++i) {
			int x=read()+1,y=read()+1,w=read();
			graph::add(x,y,w),graph::add(y,x,w);
		}
		int ans=graph::run();
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}