hihoCoder挑战赛19 A.Rikka with Sequence(状压DP)

\(Description\)

\(Solution\)

参考：https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9781573.html

暴力：\(f[i][j][k]\)表示前\(i\)个数，与起来为\(j\)，异或和为\(k\)的方案数。复杂度\(O(n*4^{13})\)。

考虑位运算的性质，最后怎么得到某一位的1：&要求所有数这一位为1，^只需判这一位为1的数的奇偶性。

所以我们用13位三进制s表示13位01的状态（2表示全1，0/1表示奇偶性），再存一下选的数的个数。

这样DP就是\(O(n*3^{13})\)了。

但是直接\(f[i][s][0/1]\)不会写啊，求路过dalao教。。（拆状态好像也挺麻烦）

记异或和为\(x\)，位与和为\(y\)，因为是与，所以\(x\)再与\(y\)和\(y\)是有关系的，也就是当选了奇数个数时，\(x\&y=y\)；否则\(x\&y=0\)。

那么暴力中的合法的\(j,k\)实际没有\(2^{13}*2^{13}\)那么多。

所有合法状态满足\(x\&y=y\)或是\(x\&y=0\)，也就是\(y\)要么是\(x\)的子集，要么与\(x\)没有交集（别忘这种情况啊）。

因为有第二种情况所以只求异或和的所有子集不行。但再求一遍补集存状态也不对（不知道为什么）。

令\(xx=x\&(\sim y)\)，我们发现\(xx\)还是确定的？而且因为\(x,y\)的关系，选奇数个时\(x\)就是\(xx|y\)，否则\(x=xx\)。

我们枚举\(y\)，再枚举\(\sim y\)的子集（要\(\&8191\)）得到\(xx\)。（我也不知道怎么会想到用\(xx\)。。好神啊）

在DP的时候根据奇偶性把\(x\)转化出来就行了（得状态再\(\&(\sim y)\)）。然后就可以同暴力直接转移。

状态数为\(O(3^{13})\)。

答案是\(f[n][status(0,0)][0]+\sum_s f[n][status(s,s)][1]\)。

复杂度也是\(O(n*3^{13})\)。

DP数组也要longlong（随机的话倒也爆不了int）。

id[][]按枚举顺序确定下标会快近一倍。

#include <cstdio>

#include <cctype>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define gc() getchar()

#define all 8191

#define cnt 1594323

typedef long long LL;

const int N=8192+3,M=1594323+3;

int And[M],XX[M],id[N][N];

LL F[M][2],G[M][2];

inline int read()

{

	int now=0;register char c=gc();

	for(;!isdigit(c);c=gc());

	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());

	return now;

}

int Init()

{

	int n=0;

	for(int y=0; y<=all; ++y)//y

	{

		int ss=(~y)&all;

		for(int x=ss; ; x=(x-1)&ss)

		{

			id[y][x]=++n;

			XX[n]=x, And[n]=y;

			if(!x) break;

		}

	}

	return n;

}

int main()

{

//	const int all=8191;

//	const int cnt=1594323;

	Init();

	int n=read(); LL (*f)[2]=F,(*g)[2]=G;

	f[id[all][0]][0]=1;

	for(int i=1,ai; i<=n; ++i)

	{

		ai=read(), std::swap(f,g);

		memcpy(f,g,sizeof F);//f[i][s]=f[i-1][s]

		for(int j=1; j<=cnt; ++j)

			for(int k=0; k<2; ++k)

			{

				if(!g[j][k]) continue;

				int x=XX[j],y=And[j];

				k && (x|=y);

				x^=ai, y&=ai;

				x&=(~y);

				f[id[y][x]][k^1]+=g[j][k];

			}

	}

	LL ans=f[id[0][0]][0];

	for(int i=1; i<=cnt; ++i) if(!XX[i]) ans+=f[i][1];//x==y xx=0

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}