【做题】codechefCOUNTARI——分块FFT

记本题数组长度为\(n\)，权值大小为\(m\)。

首先，暴力显然是\(O(n^2)\)的。

先瞄一眼tag，然后发现这是FFT。

显然，问题的关键在于要满足i,j,k之间的位置关系。于是考虑分治FFT。但遗憾的是，我们的分治FFT是对权值进行多项式乘法的，分治并不能使得FFT的规模减小。因此，分治做法在复杂度上就是错误的。

然后考虑分块。以下记块大小为\(K\)。

考虑一下三种情况：

• i,j在同一块中，但k在另一块里。
• j,k在同一块中，但i在另一块里。
• i,j,k都在同一块中。
• i,j,k都不在同一块中。

对于前三种情况，维护从1到每个块末端的权值的前缀和，用暴力就能解决。时间复杂度均为\(O(\frac {n}{K} \times K^2) = O(nK)\)。

对于最后一种情况，我们枚举j在哪一块，然后用FFT生成所有满足i在左边的块里，k在右边的块里的\(a_i+a_k\)的个数，利用\(2a_j=a_i+a_k\)就能统计出答案。这个的时间复杂度是\(O(\frac {n}{K} \times mlogm) < O(\frac {n^2logn}{K})\)。

那么有\(\frac {n^2logn}{K} + nK >= 2n^{\frac{3}{2}}log^{\frac{1}{2}}n\)。即复杂度为\(O(n^{\frac{3}{2}}log^{\frac{1}{2}}n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 200010, MAX = 200010;
typedef long double db;
const db pi = acos(-1);
struct cpl {
  db x,y;
  cpl(db x_=0,db y_=0): x(x_), y(y_) {};
  cpl operator + (const cpl& a) const {
    return cpl(x + a.x,y + a.y);
  }
  cpl operator - (const cpl& a) const {
    return cpl(x - a.x,y - a.y);
  }
  cpl operator * (const cpl& a) const {
    return cpl(x * a.x - y * a.y,x * a.y + y * a.x);
  }
  cpl operator * (const db& a) const {
    return cpl(x * a,y * a);
  }
};
cpl ta[MAX],tb[MAX];
int rev[MAX];
void prework(int n) {
  rev[0] = 0;
  for (int i = 1 ; i < n ; ++ i)
    rev[i] = i&1 ? rev[i-1] | (n>>1) : rev[i>>1]>>1;
}
void fft(cpl* a,int n,int sgn) {
  static cpl tmp[MAX];
  for (int i = 0 ; i < n ; ++ i)
    tmp[rev[i]] = a[i];
  cpl wp,w,u,v;
  for (int s = 2 ; s <= n ; s <<= 1) {
    wp = cpl(cos(2 * pi / s),sin(2 * pi / s));
    if (sgn) wp.y = -wp.y;
    for (int k = 0 ; k < n ; k += s) {
      w = cpl(1,0);
      for (int j = 0 ; j < s/2 ; ++ j) {
	u = tmp[k + j];
	v = tmp[k + j + s/2] * w;
	tmp[k + j] = u + v;
	tmp[k + j + s/2] = u - v;
	w = wp * w;
      }
    }
  }
  for (int i = 0 ; i < n ; ++ i)
    a[i] = sgn ? tmp[i] * (1.0/n) : tmp[i];
}
const int SZ = 1500;
#define suit(x) ((x) >= 1 && (x) <= mx)
int bel[N],n,arr[N],tmp[N],cnt[N / SZ][MAX];
void solve() {
  int mx = 0, ans = 0;
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    bel[i] = (i % SZ == 1 ? bel[i-1] + 1 : bel[i-1]);
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {
    ++ tmp[arr[i]];
    mx = max(mx,arr[i]);
    if (i % SZ == 0 || i == n) {
      for (int j = 1 ; j <= mx ; ++ j)
	cnt[bel[i]][j] = tmp[j];
    }
  }
  int l = 1;
  while (l < mx + mx + 1) l <<= 1;
  prework(l);
  for (int i = 2 ; i < bel[n] ; ++ i) {
    for (int j = 0 ; j < l ; ++ j)
      ta[j] = tb[j] = cpl();
    for (int j = 1 ; j <= mx ; ++ j)
      ta[j] = cpl(cnt[i-1][j],0);
    for (int j = 1 ; j <= mx ; ++ j)
      tb[j] = cpl(cnt[bel[n]][j] - cnt[i][j],0);
    fft(ta,l,0);
    fft(tb,l,0);
    for (int j = 0 ; j < l ; ++ j)
      ta[j] = ta[j] * tb[j];
    fft(ta,l,1);
    for (int j = 2 ; j <= mx * 2 ; j += 2)
      tmp[j] = (int)(ta[j].x + 0.5);
    for (int j = 1 ; j <= mx ; ++ j)
      ans += tmp[j << 1] * (cnt[i][j] - cnt[i-1][j]);
  }
  for (int i = 1 ; i <= bel[n] ; ++ i) {
    for (int j = (i-1) * SZ + 1 ; j <= i * SZ && j <= n ; ++ j)
      for (int k = j + 1 ; k <= i * SZ && k <= n ; ++ k) {
	if (suit(2 * arr[j] - arr[k]))
	  ans += cnt[i-1][2 * arr[j] - arr[k]];
	if (suit(2 * arr[k] - arr[j]))
	  ans += cnt[bel[n]][2 * arr[k] - arr[j]] - cnt[i][2 * arr[k] - arr[j]];
      }
  }
  memset(tmp,0,sizeof tmp);
  for (int i = 1 ; i <= bel[n] ; ++ i) {
    for (int j = (i-1) * SZ + 1 ; j <= i * SZ && j <= n ; ++ j) {
      for (int k = j + 1 ; k <= i * SZ && k <= n ; ++ k) {
	if ((!((arr[j] + arr[k]) & 1)) && suit((arr[j] + arr[k]) >> 1))
	  ans += tmp[(arr[j] + arr[k]) >> 1];
	++ tmp[arr[k]];
      }
      for (int k = j + 1 ; k <= i * SZ && k <= n ; ++ k)
	tmp[arr[k]] = 0;
    }
  }
  printf("%lld\n",ans);
}
signed main() {
  scanf("%lld",&n);
  for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    scanf("%lld",&arr[i]);
  solve();
  return 0;
}

小结：这种难以用分治减小规模的问题，不妨用分块来简化。