分圆多项式（cyclotomic polynomial）

最近论文中经常遇到分圆多项式，现在系统的学习一下！

本原单位根

之前介绍n次单位根，现在详细学习一下n次本原单位根（n-th primitive unit root）

一个复数是n次单位根，当且仅当具有以下性质：

\[cos(k2\pi /n) +isin(k 2\pi /n)
\]

由于:

\[cos(k2\pi /n) +isin(k 2\pi /n)=(cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n))^k
\]

故若令

\[\zeta=cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n
\]

则一个复数是n次单位根。当且仅当它是\(\zeta\)的整数次方，由此可见，所有的n次单位根在乘法下作成一个循环群，其中\(\zeta\)是该循环群的生成元。

当取\(k=0,1,2,3...,n-1\)时，我们可以得到n个n次单位根：

\[1,\zeta^1,\zeta^2,...,\zeta^{n-1}
\]

性质：

1、若用平面上的点代表复数，把这n个单位根的点用线连接起来便是单位圆的一个内接正n变形。

2、这n个n次单位根都不同

3、\(\zeta^n=1\)

总结一下：

1、复数域中恰好有n个n次单位根，它们在乘法下作一个n元循环群

2、其中\(\zeta\)是该循环群的一个生成元，这n元循环群的生成元素成为n次本元单位根

3、n元循环群共有\(\varphi(n)\)个生成元素，所有共有\(\varphi(n)\)个n次本原单位根

定义

假设\(\varphi(n)\)个n次本原单位根是\(\zeta_1,\zeta_2,...,\zeta_{\varphi(n)}\)。

则\(\phi_n(x)=(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)...(x-\zeta_{\varphi(n)})\)成为分圆多项式。

1、n=1时，生成元\(cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n)=1\)，即\(\varphi(1)=1\)，故\(\phi_1(x)=x-1\)

更多的参考下main的举例！

还有一种定义法，后面再学习吧！

举例

应用

在同态加密中，用到最多的一个性质是：

\[\phi_{2^h}(x)=x^{2{h-1}}+1
\]

，所以对于一个2的幂次\(N=2^k\)，所谓的第2N个分圆多项式就是指:

\[\phi_{2N}(X)=X^N+1
\]

参考

1、分圆多项式 cyclotomic polynomial

2、分圆多项式的性质