3.1  矩阵和向量

3.2  加法和标量乘法

3.3  矩阵向量乘法

3.4  矩阵乘法

3.5  矩阵乘法的性质

3.6  逆、转置


3.1  矩阵和向量

如图:这个是 4×2 矩阵,即 4 行 2 列,如 m 为行,n 为列,那么 m×n 。矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素(矩阵项):

Aij 指第 i 行,第 j 列的元素。

向量是一种特殊的矩阵,讲义中的向量一般都是列向量,如

如下图为 1 索引向量和 0 索引向量,左图为 1 索引向量,右图为 0 索引向量,一般我们用 1 索引向量。


3.2  加法和标量乘法

矩阵的加法:行列数相等的可以加。

矩阵的乘法:每个元素都要乘。

组合运算也类似。


3.3  矩阵向量乘法

矩阵和向量的乘法如图:m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量,得到的是 m×1 的向量


3.4  矩阵乘法

m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵,变成 m×o 矩阵。


3.5  矩阵乘法的性质(图像变换的顺序)

矩阵的乘法不满足交换律:A×B≠B×A

矩阵的乘法满足结合律:A×(B×C)=(A×B)×C

单位矩阵:在矩阵的乘法中,有一种矩阵起着特殊的作用,如同数的乘法中的 1,这种矩阵为单位矩阵.

它是个方阵,一般用 I 或者 E 表示,本讲义都用 I 代表单位矩阵,从 左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为 1, 以外全都为 0。如:


3.6  逆、转置(图像变换)

矩阵的逆:如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵(方阵),如果有逆矩阵,则:

我们一般在 OCTAVE 或者 MATLAB 中进行计算矩阵的逆矩阵。

矩阵的转置:设 A 为 m×n 阶矩阵,第 i 行 j 列的元素是 a(i,j),即: A=a(i,j)    (行变列列变行)

定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B,满足 B=a(j,i),即 b (i,j)=a (j,i)

记 AT=B。(有些书记为 A'=B)

例: 矩阵的转置基本性质:

matlab 中矩阵转置:直接打一撇,x=y'。

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