Codeforces.959E.Mahmoud and Ehab and the xor-MST(思路)

题目链接

\(Description\)

　　有一张\(n\)个点的完全图，从\(0\)到\(n-1\)标号，每两点\(i,j\)间的边权为\(i\oplus j\)。求其最小生成树边权之和。

\(Solution\)

　　为方便，以下点从\(0\)到\(n\)编号。

　　每个点\(x\)应和\(x\oplus lowbit(x)\)相连，边权为\(lowbit(x)\)（\(lowbit(x)\)会和\(0\)相连，所以一定能构成树），所以答案为\(\sum_{i=1}^nlb(i)\)。

　　继续优化。注意到\(lb(i)\)一定是某个2次幂，所以令\(f(i)\)表示\(1\leq x\leq n\)且满足\(lb(x)=i\)的\(x\)的个数，则答案为\(\sum_{i=1}^nf(i)\times i\ (f(i)>0)=\sum_{i=0}^{\lfloor\log n\rfloor}f(2^i)\times 2^i\)

　　\(f(i)\)显然可以用数位DP算，但是太麻烦了。。

　　一些满足\(lb(i)=x\)的数，它们间隔至少是\(2x\)。比如\(x=(100)_2\)，则\(i=100,1100,10100...\)(相差\(1000\))。所以\(f(x)=\lfloor\frac{n-x}{2x}\rfloor+1\ (1\leq x\leq n,x=2^y)\)。

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　　还有DP求\(\sum_{i=1}^nlb(i)\)的做法，好长啊...先不看了。

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#include <cstdio>

int main()
{
	long long n,res=0;
	scanf("%I64d",&n); --n;
	for(long long x=1; x<=n; x<<=1)
		res+=x*((n-x)/(x<<1)+1);
	printf("%I64d\n",res);

	return 0;
}