2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。
Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output
12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

想了一下，然后看了年鉴，没想到是这样的，我只是不敢写

上次做了一道类似的也是把体力用到增长率最高的地方，这个很巧

方法就是先搞一个合法的能量分配（一定要合法，能量要大于0，速度要大于0），然后调整

步长为del（开始为Eu），每次选一个增加选一个减少，然后一定要收益为正（用一个两个堆维护（t[e[i]]-t[e[i]+del]）和（t[e[i]]-t[e[i]-del]）的最大值）

每次做完后步长变成原来的1/k，一直做，做到步长足够小

可以证明这样做时间是n*logn*logV的，因为

第一次每个数最多变一次

后面的时候每个数最多变k次左右，如果超过了的话，那么在上一层就应该已经被更改了

做完之后拿数据测了一下，对了，然后就交，结果最后三个点RE

下完数据发现，数据跟年鉴上的不一样，s[i]有=0的情况，坑爹啊，我算t的时候有/s的地方，然后改了就A了TAT......

正解就差不多是算导数（增长率），我觉得不好算就没写了（不太喜欢算导数）

 const
     maxn=;
     eps=1e-14;
     oo=1e7;
     kk=;
 type
     aa=array[..maxn]of double;
     bb=array[..maxn]of longint;
 var
     k,s,v,e,del1,del2:aa;
     q1,q2,h1,h2:bb;
     n,r1,r2:longint;
     c,all,ans:double;

 function t(s,k,v,e:double):double;
 begin
     if e< then exit(oo);
     v:=v+sqrt(e/k/s);
     if v<eps then exit(oo);
     exit(s/v);
 end;

 procedure swap(var x,y:longint);
 var
     t:longint;
 begin
     t:=x;x:=y;y:=t;
 end;

 procedure up(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint);
 var
     i:longint;
 begin
     while x> do
         begin
             i:=x>>;
             if del[q[x]]>del[q[i]]+eps then
                 begin
                     swap(q[i],q[x]);
                     h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x;
                     x:=i;
                 end
             else exit;
         end;
 end;

 procedure down(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint);
 var
     i:longint;
 begin
     i:=x<<;
     while i<=r do
         begin
             if (i<r) and (del[q[i+]]>del[q[i]]+eps) then inc(i);
             if del[q[i]]>del[q[x]] then
                 begin
                     swap(q[i],q[x]);
                     h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x;
                     x:=i;i:=x<<;
                 end
             else exit;
         end;
 end;

 procedure new(x:longint);
 begin
     del1[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]-c);
     del2[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]+c);
     up(q1,h1,del1,r1,h1[x]);down(q1,h1,del1,r1,h1[x]);
     up(q2,h2,del2,r2,h2[x]);down(q2,h2,del2,r2,h2[x]);
 end;

 procedure main;
 var
     i,u,vv,cnt:longint;
     ll,rr,mid:double;
 begin
     read(n,all);c:=all;cnt:=;
     for i:= to n do
         begin
             inc(cnt);
             read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
             if s[cnt]= then dec(cnt);
         end;
     n:=cnt;
     for i:= to n do
         begin
             ll:=;rr:=all;
             while abs(ll-rr)> do
                 begin
                     mid:=(ll+rr)/;
                     if t(s[i],k[i],v[i],mid)<1e5 then rr:=mid
                     else ll:=mid;
                 end;
             e[i]:=rr;all:=all-rr;
         end;
     e[]:=e[]+all;
     while c>eps do
         begin
             r1:=;r2:=;
             for i:= to n do
                 begin
                     inc(r1);q1[r1]:=i;h1[i]:=r1;
                     inc(r2);q2[r2]:=i;h2[i]:=r2;
                     new(i);
                 end;
             cnt:=;
             while del1[q1[]]+del2[q2[]]>eps do
                 begin
                     inc(cnt);if cnt>n*kk* then break;
                     u:=q1[];vv:=q2[];
                     e[u]:=e[u]-c;e[vv]:=e[vv]+c;
                     new(u);new(vv);
                 end;
             c:=c/kk;
         end;
     for i:= to n do ans:=ans+t(s[i],k[i],v[i],e[i]);
     writeln(ans::);
 end;

 begin
     main;
 end.

突然发现求导的方法很好写，就写了，只不过要用extended（至今不知道double和extended有什么区别233，一般都一样，不过有些只能用double，有些只能用extended，我不知道为什么）

 const
     maxn=;
     eps=1e-12;
     inf=1e6;
 var
     s,k,v:array[..maxn]of extended;
     n,cnt:longint;
     all,ans:extended;

 function flag(x:extended):boolean;
 var
     i:longint;
     l,r,mid,a:extended;
 begin
     a:=all;
     for i:= to n do
       begin
         l:=v[i];r:=inf;
         while abs(l-r)>eps do
           begin
             mid:=(l+r)/;
             if *k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
             else l:=mid;
           end;
         if l<eps then exit(false);
         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);
         if a< then exit(false);
       end;
     exit(true);
 end;

 procedure main;
 var
     l,r,mid,x:extended;
     i:longint;
 begin
     read(n,all);
     for i:= to n do
       begin
         inc(cnt);
         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
         if s[cnt]= then dec(cnt);
       end;
     n:=cnt;
     l:=;r:=inf;
     while abs(l-r)>eps do
       begin
         mid:=(l+r)/;
         if flag(mid) then l:=mid
         else r:=mid;
       end;
     x:=l;
     for i:= to n do
       begin
         l:=v[i];r:=inf;
         while abs(l-r)>eps do
           begin
             mid:=(l+r)/;
             if *k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
             else l:=mid;
           end;
         ans:=ans+s[i]/l;
       end;
     writeln(ans::);
 end;

 begin
 assign(input,'bicycling.in');reset(input);
 assign(output,'bicycling.out');rewrite(output);
     main;
 close(output);close(input);
 end.

为什么两个二分用两个eps就可以用double过了TAT（看来eps较小的情况还是用extended吧）

 const
     maxn=;
     eps=1e-13;
     eps1=1e-11;
     inf=1e6;
 var
     s,k,v:array[..maxn]of double;
     n,cnt:longint;
     all,ans:double;

 function flag(x:double):boolean;
 var
     i:longint;
     l,r,mid,a:double;
 begin
     a:=all;
     for i:= to n do
       begin
         l:=v[i];r:=inf;
         while abs(l-r)>eps do
           begin
             mid:=(l+r)/;
             if *k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
             else l:=mid;
           end;
         if l<eps then exit(false);
         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);
         if a< then exit(false);
       end;
     exit(true);
 end;

 procedure main;
 var
     l,r,mid,x:double;
     i:longint;
 begin
     read(n,all);
     for i:= to n do
       begin
         inc(cnt);
         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
         if s[cnt]= then dec(cnt);
       end;
     n:=cnt;
     l:=;r:=inf;
     while abs(l-r)>eps1 do
       begin
         mid:=(l+r)/;
         if flag(mid) then l:=mid
         else r:=mid;
       end;
     x:=l;
     for i:= to n do
       begin
         l:=v[i];r:=inf;
         while abs(l-r)>eps do
           begin
             mid:=(l+r)/;
             if *k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
             else l:=mid;
           end;
         ans:=ans+s[i]/l;
       end;
     writeln(ans::);
 end;

 begin
     main;
 end.

我是sb....TAT，double没有错，是我错了，能量足够是要往小调，v不合法是要往大调所以是if v<eps then exit(true);

 const
     maxn=;
     eps=1e-12;
     inf=1e6;
 var
     s,k,v:array[..maxn]of double;
     n,cnt:longint;
     all,ans:double;

 function flag(x:double):boolean;
 var
     i:longint;
     l,r,mid,a:double;
 begin
     a:=all;
     for i:= to n do
       begin
         l:=v[i];r:=inf;
         while abs(l-r)>eps do
           begin
             mid:=(l+r)/;
             if *k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
             else l:=mid;
           end;
         if l<eps then exit(true);
         a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]);
         if a< then exit(false);
       end;
     exit(true);
 end;

 procedure main;
 var
     l,r,mid,x:double;
     i:longint;
 begin
     read(n,all);
     for i:= to n do
       begin
         inc(cnt);
         read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]);
         if s[cnt]= then dec(cnt);
       end;
     n:=cnt;
     l:=;r:=inf;
     while abs(l-r)>eps do
       begin
         mid:=(l+r)/;
         if flag(mid) then l:=mid
         else r:=mid;
       end;
     x:=l;
     for i:= to n do
       begin
         l:=v[i];r:=inf;
         while abs(l-r)>eps do
           begin
             mid:=(l+r)/;
             if *k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid
             else l:=mid;
           end;
         ans:=ans+s[i]/l;
       end;
     writeln(ans::);
 end;

 begin
     main;
 end.