2013 Multi-University Training Contest 5 Partition

思路：五边形数定理！！！

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

亦即

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数（formal power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

其中为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

考虑项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式

以n=10为例

这就是所求的了，当n<0时，p(n)=0;

p(n)的其他性质：

当限定将表示成刚好个正整数之和时，可以表示为。显然，。

• 对于，
• (OEIS:A004526)
• = 最接近的正整数。(OEIS:A069905)
• 
• 

代码如下：

 #include<iostream>
 #include<stdio.h>
 #include<algorithm>
 #include<iomanip>
 #include<cmath>
 #include<string>
 #include<vector>
 #define ll __int64
 #define pi acos(-1.0)
 #define MAX 100001
 using namespace std;
 const int mod=;
 int an[MAX],n,t;
 void init(){
     int i,j;
     an[]=an[]=;
     an[]=;an[]=;an[]=;
     an[]=;
     for(i=;i<MAX;i++){
         an[i]=;
         for(j=;;j++){
             int g=j*(*j-)/;
             if(i-g<) break;
             if(j&) an[i]+=an[i-g];
             else an[i]-=an[i-g];
             an[i]=an[i]%mod;
             while(an[i]<) an[i]+=mod;
             g=j*(*j+)/;
             if(i-g<) break;
             if(j&) an[i]+=an[i-g];
             else an[i]-=an[i-g];
             an[i]=an[i]%mod;
             while(an[i]<) an[i]+=mod;
         }
         an[i]%=mod;
     }
 }
 int main(){
     init();
     scanf("%d",&t);
     while(t--){
         scanf("%d",&n);
         printf("%d\n",an[n]);
     }
     return ;
 }