BZOJ1856[SCOI2010]字符串
Description
lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务,任务需要他把n个1和m个0组成字符串,但是任务还要求在组成的字符串中,在任意的前k个字符中,1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个,聪明的程序员们,你们能帮助他吗?
Input
输入数据是一行,包括2个数字n和m
Output
输出数据是一行,包括1个数字,表示满足要求的字符串数目,这个数可能会很大,只需输出这个数除以20100403的余数
Sample Input
Sample Output
HINT
对于30%的数据,保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据,保证1<=m<=n<=1000000
题解:
从坐标(0,x)出发,每次向右上或右下移动√2个单位,移动过程中触碰过x轴,直到移动到(z,y),其方案集合为F1;从坐标(0,-x)出发,每次向右上或右下移动√2个单位,直到移动到(z,y),其方案集合为F2。若x,y,z>0,则有|F1|=|F2|。
证明:对于F1中每一种走法,对其进行这样一种变换:设其与x轴第一个交点为(w,0),将横坐标0~w的路线以x轴对称,则唯一地得到了F2中的一种方案。对于F2的一种方案,显然在F1中有且只有一种方案可以变换为成它(该变换是自己的逆变换),所以F1与F2中元素一一对应,集合大小相等。
在该题中,考虑将方案变为坐标轴中的路线,每加入一个字符即向右移动一次,加入1为右上,加入0为右下,则问题变成了:从(0,1)移动到(n+m,n-m+1),不触碰x轴的方案数。
ANS=C(n+m,n-m)-C(n+m,m-1)
代码:
const
mo:int64=;
var
i,j,k,l,n,m:longint;
a:array[..]of int64;
ans:int64;
function ksm(x,y:int64):int64;
var z:int64;
begin
z:=;
while y> do
begin
if y mod = then z:=(z*x)mod mo;
y:=y div ; x:=(x*x)mod mo;
end;
exit(z);
end;
function c(x,y:int64):int64;
begin
if x=y then exit();
exit(((a[x]*ksm(a[y],mo-))mod mo*ksm(a[x-y],mo-))mod mo);
end;
begin
readln(n,m);
a[]:=;
for i:= to n+m do a[i]:=a[i-]*i mod mo;
ans:=c(n+m,n-m)-c(n+m,m-);
ans:=(ans mod mo+mo)mod mo;
writeln(ans);
end.
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