[CCC​2019] Tourism题解

我们先考虑一下拿部分分：

subtask1

考虑因为 \(n < 2k\) ，那么我们的划分一定是从中间某个地方裁开，且满足 \(k\) 的条件的，我们发现当划分点在 \([n\ mod\ k,k]\)时满足条件，那么我们只需要维护一个前缀最大值和后缀最大值就好了。

		for(int i = 1;i <= n;++i)
		pre[i] = std::max(pre[i - 1],a[i]);
		for(int i = n;i >= 1;--i)
		s[i] = std::max(s[i + 1],a[i]);
		ll ans = 0;
		for(int i = n % k ;i <= k;++i)
		ans = std::max(ans,1ll * pre[i] + s[i + 1]);
		std::cout<<ans<<std::endl;

subtask2

我们发现这一档的分的关键是 \(k\) 很小，那么我们先轻松就能想到一个朴素的 \(dp\) ,我们设 \(f_i\) 为以 \(i\) 处为结尾的划分的答案最大值。为了满足转移次数最小，我们每次转移都要附上一个较大的代价 \(INF\) 。

所以转移方程为 \(f_i = max_{j = max(0,i - k + 1)}(f_j + p(j + 1,i)) - INF,p(x,y) = max_{i = x} ^ y a_i\) 。

最后我们发现转移次数我们是可以计算出来的，我们为 \(f_n\) 加上 \(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor + [n \ mod\ k > 0] * INF\) 就好了。

	for(int i = 1;i <= n;++i)
	f[i] = -9e18;
	// std::cout<<f[0]<<std::endl;
	for(int i = 1;i <= n;++i){
	ll ma = a[i];
	ll m = std::max((ll)0,i - k + 1);
	f[0] = 0;
	for(int j = i;j >= m;--j){
		ma = std::max(a[j],ma);
		f[i] = std::max(1ll * f[j - 1] + ma - INF,f[i]);
	}
	// std::cout<<f[i] + (i / k + (i % k > 0)) * INF<<std::endl;
	}
	std::cout<<1ll * f[n] + 1ll * (n / k + (n % k > 0)) * INF<<std::endl;

all subtask

我们考虑 \(p(x,y)\) 是一个较难处理的点，我们可以使用单调栈来处理他。

即我们依次向右扩展当前节点，并维护最大值的阶段。

我们需要一个可以处理区间修改，区间查询最大值的数据结构，线段树。

但是要注意一个最大值区间所对应的贡献区间要向左移一位。

// Problem: P6647 [CCC 2019] Tourism
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P6647
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 4000 ms
//
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define N 1000005

const ll INF = 1e12;
ll n,k;
int a[N];
ll f[N];

struct seg{int l,r;ll v,tag;}t[N * 6];

ll st[N],tp;

#define ls(x) (x << 1)
#define rs(x) (x << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)

inline void build(int u,int l,int r){
	t[u].l = l;
	t[u].r = r;
	if(l == r)
	return ;
	build(ls(u),l,mid);
	build(rs(u),mid + 1,r);
}

inline void up(int u){
	t[u].v = std::max(t[ls(u)].v,t[rs(u)].v);
}

inline void push_down(int u){
	if(t[u].tag){
		t[ls(u)].tag += t[u].tag;
		t[ls(u)].v += t[u].tag;
		t[rs(u)].tag += t[u].tag;
		t[rs(u)].v += t[u].tag;
		t[u].tag = 0;
	}
}

inline void md(int u,int tl,int tr,ll p){
	// std::cout<<u<<" "<<t[u].l<<" "<<t[u].r<<" "<<tl<<" "<<tr<<" "<<p<<std::endl;
	ll l = t[u].l,r = t[u].r;
	if(tl <= l && r <= tr){
		t[u].v += p;
		t[u].tag += p;
		return ;
	}
	push_down(u);
	if(tl <= mid)
	md(ls(u),tl,tr,p);
	if(tr > mid)
	md(rs(u),tl,tr,p);
	up(u);
}

inline ll find(int u,int tl,int tr){
	ll ans = -9e18;
	push_down(u);
	int l = t[u].l,r = t[u].r;
	if(tl <= l && r <= tr)
	return t[u].v;
	if(tl <= mid)
	ans = std::max(find(ls(u),tl,tr),ans);
	if(tr > mid)
	ans = std::max(find(rs(u),tl,tr),ans);
	return ans;
}

int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i = 1;i <= n;++i)
	scanf("%lld",&a[i]);
	build(1,0,n);
	for(int i = 1;i <= n;++i){
		while(tp && a[st[tp]] <= a[i]){
		if(a[st[tp]] == a[i]){--tp;continue;}
		md(1,st[tp - 1],st[tp] - 1,a[i] - a[st[tp]]);//[st[tp] + 1,st[tp + 1]]向左移一位
		--tp;
		}
		st[++tp] = i;
		md(1,i - 1,i - 1,f[i - 1] + a[i]);
		ll ans = find(1,std::max(i - k,(ll)0),i - 1);
		f[i] = ans - 1ll * INF;
	}
	// for(int i = 1;i <= n;++i)
	// std::cout<<f[i] + (i - 1 + k) / k * INF<<std::endl;
	std::cout<<f[n] + (n - 1 + k) / k * INF;

}