BZOJ 3571 画框 KM算法 最小乘积最大权匹配

　　题意

　　　　有n个画框和n幅画。若第i幅画和第j个画框配对，则有平凡度A_ij和违和度B_ij，一种配对方案的总体不和谐度为∑A_ij*∑B_ij。求通过搭配能得到的最小不和谐度是多少。 n <= 70.

　　分析

　　　　这题是最小乘积最大权匹配裸题，其做法类似最小乘积生成树。

　　　　每个方案可以表示为二维平面上的点，答案必然在下凸壳上。

　　　　具体要怎么找呢？其实是有一个这样的方法：找出横坐标或纵坐标最小的点a和b，找点的方法可以用KM。

　　　　找到这两个点就可以分治下去做了，找到离直线ab距离最大的点（当然要在直线ab下方）。

　　　　列出点线距离公式，由于要找的点是在直线ab的下方，那么绝对值就可以去掉，整理为Ax+By的最值，然后就化成了一维，继续用KM来找，如此递归下去做。

　　　　当然，最小乘积XXX的东西似乎都可以用上面的方法做，拓展到多维方法也是类似的。

　　程序

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>

 using namespace std;

 const int maxn = ;
 const int INF = 0x3fffffff;
 bool visx[maxn], visy[maxn];
 int linker[maxn], slack[maxn], lx[maxn], ly[maxn], w[maxn][maxn];
 int n, a[maxn][maxn], b[maxn][maxn];
 struct Point
 {
     int x, y;
     Point (int x = , int y = ):
         x(x), y(y) {}
     bool operator == (const Point &AI) const
     {
         return AI.x == x && AI.y == y;
     }
 };

 bool dfs(int x)
 {
     int y, temp;
     visx[x] = true;
     for (y = ; y <= n; ++y)
     {
         if (visy[y]) continue ;
         temp = lx[x]+ly[y]-w[x][y];
         if (temp == )
         {
             visy[y] = true;
             if (linker[y] == - || dfs(linker[y]))
             {
                 linker[y] = x;
                 return true;
             }
         }
         else if (temp < slack[y]) slack[y] = temp;
     }
     return false;
 }

 Point KM()
 {
     int i, j, x, y, d;
     memset(ly, , sizeof(ly));
     memset(linker, -, sizeof(linker));
     for (i = ; i <= n; ++i)
     {
         lx[i] = -INF;
         for (j = ; j <= n; ++j) lx[i] = max(lx[i], w[i][j]);
     }
     for (x = ; x <= n; ++x)
     {
         for (y = ; y <= n; ++y) slack[y] = INF;
         while ()
         {
             memset(visx, , sizeof(visx));
             memset(visy, , sizeof(visy));
             if (dfs(x)) break ;
             d = INF;
             for (y = ; y <= n; ++y) if (!visy[y]) d = min(d, slack[y]);
             for (i = ; i <= n; ++i) if (visx[i]) lx[i] -= d;
             for (y = ; y <= n; ++y)
                 if (visy[y]) ly[y] += d;
                 else slack[y] -=d;
         }
     }
     Point temp(, );
     for (i = ; i <= n; ++i)
         temp.x += a[linker[i]][i], temp.y += b[linker[i]][i];
     return temp;
 }

 int solve(Point p1, Point p2)
 {
     for (int i = ; i <= n; ++i)
         for (int j = ; j <= n; ++j)
             w[i][j] = (p2.y-p1.y)*a[i][j]+(p1.x-p2.x)*b[i][j];
     Point t = KM();
     if (t == p1 || t == p2) return min(p1.x*p1.y, p2.x*p2.y);
     return min(solve(p1, t), solve(t, p2));
 }

 int main()
 {
     freopen("a.in", "r", stdin);
     freopen("a.out", "w", stdout);
     int T;
     scanf("%d", &T);
     while (T --)
     {
         scanf("%d", &n);
         for (int i = ; i <= n; ++i)
             for (int j = ; j <= n; ++j)
                 scanf("%d", &a[i][j]);
         for (int i = ; i <= n; ++i)
             for (int j = ; j <= n; ++j)
                 scanf("%d", &b[i][j]);
         Point p1, p2;
         for (int i = ; i <= n; ++i)
             for (int j = ; j <= n; ++j)
                 w[i][j] = -a[i][j];
         p1 = KM();
         for (int i = ; i <= n; ++i)
             for (int j = ; j <= n; ++j)
                 w[i][j] = -b[i][j];
         p2 = KM();
         printf("%d\n", solve(p1, p2));
     }
     return ;
 }