河南省多校联盟二-F 线段树+矩阵

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1284: SP教数学

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题目描述

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输出

对于每组数据的2操作，输出一行对1e9 + 7取模的答案

样例输入

7 4

2 2 1 1 3 3 2

2 1 5

2 6 7

1 3 4 3

2 6 6

样例输出

提示

1 <= n ,m <=10^5

一道很有趣的ST的题目，有趣在维护节点时用到了矩阵运算，减少了计算量。

首先对于矩阵运算法则，百度百科:

基本性质

乘法结合律： (AB)C=A(BC)．^[2]
乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC^[2]
乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB^[2]
对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．
转置 (AB)^T=B^TA^T．
矩阵乘法一般不满足交换律^[3]
。

题目的重点是如何快速求出∑^r_i=l f(i) , 其中f(i)表示第i个斐波那契数，(f1=f2=1)

这里的i会更新，+x操作，那么如何快速的计算这个值呢，一项一项利用快速幂? len*log（n)的复杂度难免有些太高了。

我们可以利用当前已知的区间和和增量一次性计算得到新的区间和，这里用到一些公式。

假设当前区间有三个元素 [a,b,c] ,s1=fa+fb+fc 增量为x，

-->[a+x,b+x,c+x] , s2=f(a+x)+f(b+x),f(c+x);

由矩阵关于斐波那契的递推式有:(fn,f_n-1)=(f_n-1,f_n-2)*(_{1 0}^{1 1}) //请自行脑补对齐= =

-->(f(a+x),f(a+x-1))=(f(a),f(a-1))*(_{1 0}^{1 1})^x

(f(b+x),f(b+x-1))=(f(b),f(b-1))*(_{1 0}^{1 1})^x

(f(c+x),f(c+x-1))=(f(c),f(c-1))*(_{1 0}^{1 1})^x

将三个等式相加得到 (s2,f(a+x-1)+f(b+x-1)+f(c+x-1))=(s1,f(a-1)+f(b-1)+f(c-1))*(_{1 0}^{1 1})^x //由于矩阵运算满足单向的分配律

我们已经找到了s2和s1的关系了，在已知x和行矩阵的第二个元素的情况下，只需要对(_{1 0}^{1 1})进行一次矩阵幂便可得到s2.

由于计算时必须要知道行矩阵的第二项，我们不妨对于每个节点维护两个值，是Σ^r_i=l f(i) 和 Σ^r_i=l f(i-1)，利用laz标记的x便可快速的完成释放操作。

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 #define LL long long

 LL MOD=1e9+;

 const LL MAXN=(<<)+;

 struct Matrix

 {

     int r=,w=;

     LL a[][];

     void init(){memset(a,,sizeof(a));}

     Matrix operator*(const Matrix &tmp){

      Matrix ans;

      ans.r=r;ans.w=tmp.w;

      ans.init();

      for(int i=;i<=r;++i)

         for(int k=;k<=w;++k)

           for(int j=;j<=tmp.w;++j)

     ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*tmp.a[k][j])%MOD;

     return ans;

     }

     Matrix operator+(const Matrix &tmp){

      Matrix ans;

      ans.r=r;ans.w=w;

      ans.init();

      for(int i=;i<=r;++i)

         for(int j=;j<=w;++j)

     ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][j]+tmp.a[i][j])%MOD;

     return ans;

     }

 }unit,Am;

 void init()

 {

     unit.init();unit.r=unit.w=;

     for(int i=;i<=;++i) unit.a[i][i]=;

     Am.init(),Am.r=Am.w=;

     Am.a[][]=Am.a[][]=Am.a[][]=;

 }

 Matrix qpow(Matrix A,LL n)

 {

  Matrix ans=unit;

  ans.r=A.r;

  ans.w=A.w;

  while(n){

     if(n&) ans=ans*A;

     A=A*A;

     n>>=;

  }

  return ans;

 }

 struct node

 {

     LL x,y;

 };

 struct Segtree

 {

     #define M ((L+R)>>1)

     #define lc (id<<1)

     #define rc (id<<1|1)

     LL laz[MAXN];

     node sum[MAXN];

     void init()

     {

         memset(laz,,sizeof(laz));

         memset(sum,,sizeof(sum));

     }

     void build(int L,int R,int id)

     {

        if(L==R){

         LL x; scanf("%lld",&x);

         if(x==){sum[id].x=;}

         else if(x==) {sum[id].x=sum[id].y=;}

         else{

             Matrix t=qpow(Am,x-);

             sum[id].x=(t.a[][]+t.a[][])%MOD;

             sum[id].y=(t.a[][]+t.a[][])%MOD;

            // cout<<sum[id].x<<" "<<sum[id].y<<endl;

         }

         return;

        }

        build(L,M,lc);

        build(M+,R,rc);

        pushup(L,R,id);

     }

     void pushdown(int L,int R,int id)

     {

      if(!laz[id]) return;

      laz[lc]+=laz[id];

      laz[rc]+=laz[id];

      Matrix t=qpow(Am,laz[id]);

      LL x1=sum[lc].x,y1=sum[lc].y;

      sum[lc].x=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;

      sum[lc].y=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;

       x1=sum[rc].x,y1=sum[rc].y;

      sum[rc].x=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;

      sum[rc].y=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;

      laz[id]=;

     }

     void pushup(int L,int R,int id)

     {

      sum[id].x=(sum[lc].x+sum[rc].x)%MOD;

      sum[id].y=(sum[lc].y+sum[rc].y)%MOD;

     }

     void update(int L,int R,int id,int l,int r,LL v)

     {

      if(L>=l&&R<=r){

         laz[id]+=v;

         Matrix t=qpow(Am,v);

         LL x1=sum[id].x,y1=sum[id].y;

         sum[id].x=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;

         sum[id].y=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;

         return;

      }

      pushdown(L,R,id);

      if(l<=M) update(L,M,lc,l,r,v);

      if(r>M) update(M+,R,rc,l,r,v);

      pushup(L,R,id);

     }

     LL ask(int L,int R,int id,int l,int r)

     {

      if(L>=l&&R<=r) return sum[id].x%MOD;

      pushdown(L,R,id);

      LL s=;

      if(l<=M) s=(s+ask(L,M,lc,l,r))%MOD;

      if(r>M) s=(s+ask(M+,R,rc,l,r))%MOD;

      pushup(L,R,id);

      return s;

     }

 }seg;

 int main()

 {

     init();

     LL n,m,x,a;

     int i,opt,j,l,r,k;

     while(cin>>n>>m){

         seg.init();

         seg.build(,n,);

         for(i=;i<=m;++i){

             cin>>opt;

             LL v;

             if(opt==){

                 cin>>l>>r>>v;

                 seg.update(,n,,l,r,v);

             }

             else{

                 cin>>l>>r;

                 cout<<seg.ask(,n,,l,r)<<endl;

             }

         }

     }

     return ;

 }

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