河南省多校联盟二-F 线段树+矩阵

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1284: SP教数学

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提交: 24  解决: 4

题目描述

输入

输出

对于每组数据的2操作，输出一行对1e9 + 7取模的答案

样例输入

7 4
2 2 1 1 3 3 2
2 1 5
2 6 7
1 3 4 3
2 6 6

样例输出

6
3
2

提示

1 <=  n ,m <=10^5

一道很有趣的ST的题目，有趣在维护节点时用到了矩阵运算，减少了计算量。

首先对于矩阵运算法则，百度百科:

基本性质

1. 乘法结合律： (AB)C=A(BC)．^[2] 
2. 乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC^[2] 
3. 乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB^[2] 
4. 对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．
5. 转置 (AB)^T=B^TA^T．
6. 矩阵乘法一般不满足交换律^[3] 
   。

题目的重点是如何快速求出∑^r_i=l f(i) , 其中f(i)表示第i个斐波那契数，(f1=f2=1)

这里的i会更新，+x操作，那么如何快速的计算这个值呢，一项一项利用快速幂? len*log（n)的复杂度难免有些太高了。

我们可以利用当前已知的区间和和增量一次性计算得到新的区间和，这里用到一些公式。

假设当前区间有三个元素 [a,b,c] ,s1=fa+fb+fc  增量为x，

-->[a+x,b+x,c+x] ,  s2=f(a+x)+f(b+x),f(c+x);

由矩阵关于斐波那契的递推式有:(fn,f_n-1)=(f_n-1,f_n-2)*(_{1 0}^{1 1})    //请自行脑补对齐= =

-->(f(a+x),f(a+x-1))=(f(a),f(a-1))*(_{1 0}^{1 1})^x

(f(b+x),f(b+x-1))=(f(b),f(b-1))*(_{1 0}^{1 1})^x

(f(c+x),f(c+x-1))=(f(c),f(c-1))*(_{1 0}^{1 1})^x

将三个等式相加得到 (s2,f(a+x-1)+f(b+x-1)+f(c+x-1))=(s1,f(a-1)+f(b-1)+f(c-1))*(_{1 0}^{1 1})^x  //由于矩阵运算满足单向的分配律

我们已经找到了s2和s1的关系了，在已知x和行矩阵的第二个元素的情况下，只需要对(_{1 0}^{1 1})进行一次矩阵幂便可得到s2.

由于计算时必须要知道行矩阵的第二项，我们不妨对于每个节点维护两个值，是Σ^r_i=l f(i) 和  Σ^r_i=l f(i-1)，利用laz标记的x便可快速的完成释放操作。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define LL long long
 LL MOD=1e9+;
 const LL MAXN=(<<)+;
 struct Matrix
 {
     int r=,w=;
     LL a[][];
     void init(){memset(a,,sizeof(a));}
     Matrix operator*(const Matrix &tmp){
      Matrix ans;
      ans.r=r;ans.w=tmp.w;
      ans.init();
      for(int i=;i<=r;++i)
         for(int k=;k<=w;++k)
           for(int j=;j<=tmp.w;++j)
     ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*tmp.a[k][j])%MOD;
     return ans;
     }
     Matrix operator+(const Matrix &tmp){
      Matrix ans;
      ans.r=r;ans.w=w;
      ans.init();
      for(int i=;i<=r;++i)
         for(int j=;j<=w;++j)
     ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][j]+tmp.a[i][j])%MOD;
     return ans;
     }
 }unit,Am;
 void init()
 {
     unit.init();unit.r=unit.w=;
     for(int i=;i<=;++i) unit.a[i][i]=;
     Am.init(),Am.r=Am.w=;
     Am.a[][]=Am.a[][]=Am.a[][]=;
 }
 Matrix qpow(Matrix A,LL n)
 {
  Matrix ans=unit;
  ans.r=A.r;
  ans.w=A.w;
  while(n){
     if(n&) ans=ans*A;
     A=A*A;
     n>>=;
  }
  return ans;
 }
 struct node
 {
     LL x,y;
 };
 struct Segtree
 {
     #define M ((L+R)>>1)
     #define lc (id<<1)
     #define rc (id<<1|1)
     LL laz[MAXN];
     node sum[MAXN];
     void init()
     {
         memset(laz,,sizeof(laz));
         memset(sum,,sizeof(sum));
     }
     void build(int L,int R,int id)
     {
        if(L==R){
         LL x; scanf("%lld",&x);
         if(x==){sum[id].x=;}
         else if(x==) {sum[id].x=sum[id].y=;}
         else{
             Matrix t=qpow(Am,x-);
             sum[id].x=(t.a[][]+t.a[][])%MOD;
             sum[id].y=(t.a[][]+t.a[][])%MOD;
            // cout<<sum[id].x<<" "<<sum[id].y<<endl;
         }
         return;
        }
        build(L,M,lc);
        build(M+,R,rc);
        pushup(L,R,id);
     }
     void pushdown(int L,int R,int id)
     {
      if(!laz[id]) return;
      laz[lc]+=laz[id];
      laz[rc]+=laz[id];
      Matrix t=qpow(Am,laz[id]);
      LL x1=sum[lc].x,y1=sum[lc].y;
      sum[lc].x=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;
      sum[lc].y=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;
       x1=sum[rc].x,y1=sum[rc].y;
      sum[rc].x=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;
      sum[rc].y=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;
      laz[id]=;
     }
     void pushup(int L,int R,int id)
     {
      sum[id].x=(sum[lc].x+sum[rc].x)%MOD;
      sum[id].y=(sum[lc].y+sum[rc].y)%MOD;
     }
     void update(int L,int R,int id,int l,int r,LL v)
     {
      if(L>=l&&R<=r){
         laz[id]+=v;
         Matrix t=qpow(Am,v);
         LL x1=sum[id].x,y1=sum[id].y;
         sum[id].x=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;
         sum[id].y=(x1*t.a[][]%MOD+y1*t.a[][]%MOD)%MOD;
         return;
      }
      pushdown(L,R,id);
      if(l<=M) update(L,M,lc,l,r,v);
      if(r>M) update(M+,R,rc,l,r,v);
      pushup(L,R,id);
     }
     LL ask(int L,int R,int id,int l,int r)
     {
      if(L>=l&&R<=r) return sum[id].x%MOD;
      pushdown(L,R,id);
      LL s=;
      if(l<=M) s=(s+ask(L,M,lc,l,r))%MOD;
      if(r>M) s=(s+ask(M+,R,rc,l,r))%MOD;
      pushup(L,R,id);
      return s;
     }
 }seg;
 int main()
 {
     init();
     LL n,m,x,a;
     int i,opt,j,l,r,k;
     while(cin>>n>>m){
         seg.init();
         seg.build(,n,);
         for(i=;i<=m;++i){
             cin>>opt;
             LL v;
             if(opt==){
                 cin>>l>>r>>v;
                 seg.update(,n,,l,r,v);
             }
             else{
                 cin>>l>>r;
                 cout<<seg.ask(,n,,l,r)<<endl;
             }
         }
     }
     return ;
 }
  

1284: SP教数学

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在

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