KM bfs写法

KM bfs写法

2018astar资格赛的第三题整数规划。

把\(x, y\)看成二分图两边的顶标，\(a_{ij}\)就是二分图的边权，整道题其实就是求二分图的最大权匹配。

然后打了个\(dfs\)的\(KM\)，\(TLE\)了，后来听别人说要用\(bfs\)的写法，因为那个才是真正的\(O(n^3)\)，\(dfs\)的写法最坏情况还是\(O(n^4)\)。

原理是一样的，只不过\(bfs\)有一点点像迭代，每一次也只是搜\(diff=0\)的情况，而且右边的点只会搜索一次（或者说是左边的点只会搜索一次，即左边的每个点只会进队一次），用\(pre\)记住当前的交错路径，找到未匹配的就可以沿交错路径进行修改。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn=210;
const LL inf=1LL<<60;

int n;

namespace KM
{
	int n;
	LL mat[maxn][maxn];               //边权
	int matcha[maxn], matchb[maxn];   //左边的点匹配的右边点；右边的点匹配的左边点
	LL marka[maxn], markb[maxn];      //左顶标；右顶标
	LL slack[maxn];                   //松弛数组
	bool visa[maxn], visb[maxn];      //访问标记

	int head, tail;
	int q[maxn], pre[maxn];           //队列；交错路径

	bool check(int cur)
	{
		visb[cur]=true;     //标记cur已搜索
		if (matchb[cur])    //已匹配，即当前匹配失败
		{
			if (!visa[matchb[cur]])    //匹配的点是否已进队
			{
				q[++tail]=matchb[cur];
				visa[matchb[cur]]=true;
			}
			return false;
		}
		//未匹配，即当前匹配成功，沿交错路径进行匹配
		while (cur)
			swap(cur, matcha[matchb[cur]=pre[cur]]);
		return true;
	}

	void bfs(int start)
	{
		fill(visa, visa+1+n, false);
		fill(visb, visb+1+n, false);
		fill(slack, slack+1+n, inf);

		head=tail=1;
		q[1]=start;
		visa[start]=true;

		while (1)
		{
			while (head<=tail)
			{
				int cur=q[head++];
				for (int i=1; i<=n; ++i)
				{
					LL diff=marka[cur]+markb[i]-mat[cur][i];
					if (!visb[i] && diff<=slack[i])   //visb=true说明已搜索，无需更新slack和pre，也是保证pre的正确性
					{
						slack[i]=diff;
						pre[i]=cur;
						if (diff==0)  //diff=0，可以尝试匹配
							if (check(i)) return; //匹配成功可直接返回
					}
				}
			}

			LL delta=inf;
			for (int i=1; i<=n; ++i)
				if (!visb[i] && slack[i]) delta=min(slack[i], delta);
			for (int i=1; i<=n; ++i)    //松弛
			{
				if (visa[i]) marka[i]-=delta;
				if (visb[i]) markb[i]+=delta;
				else slack[i]-=delta;   //维护slack的正确性(参考diff的计算及marka，markb的变化）
			}

			head=1, tail=0;
			for (int i=1; i<=n; ++i)
				if (!visb[i] && !slack[i] && check(i)) return;
				//松弛后尝试匹配diff=0的点。
		}
	}

	void solve()
	{
		fill(matcha, matcha+1+n, 0);
		fill(matchb, matchb+1+n, 0);
		fill(markb, markb+1+n, 0);

		for (int i=1; i<=n; ++i)
		{
			marka[i]=0;
			for (int j=1; j<=n; ++j)
				marka[i]=max(marka[i], mat[i][j]);
		}

		for (int i=1; i<=n; ++i) bfs(i);
	}
}

void read()
{
	scanf("%d", &n);
	KM::n=n;
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		for (int j=1; j<=n; ++j)
		{
			int x;
			scanf("%d", &x);
			KM::mat[i][j]=-x;
		}
}

void solve()
{
	KM::solve();
	LL ans=0;
	for (int i=1; i<=n; ++i)
		ans+=KM::marka[i]+KM::markb[i];
	printf("%lld\n", -ans);
}

int main()
{
	int casesum;
	scanf("%d", &casesum);
	for (int i=1; i<=casesum; ++i)
	{
		printf("Case #%d: ", i);
		read();
		solve();
	}
	return 0;
}