Machine Learning 学习笔记 (1) —— 线性回归与逻辑回归

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1. 梯度下降法 (Gradient Descent)

梯度下降法是一种用来寻找函数最小值的算法。算法的思想非常简单：每次沿与当前梯度方向相反的方向走一小步，并不断重复这一过程。举例如下：

[例]使用梯度下降法，求z=0.3x²+0.4y²+2的最小值。

第一步：求解迭代格式。根据“每次沿与当前梯度方向相反的方向走一小步”的思想，可知x^(k+1)=x^(k)-0.6x^(k), y^(k+1)=y^(k)-0.8y^(k)

第二步：选择迭代的初始值。初始值一般可以随意选择，但恰当的初始值有助于提升收敛速度。本例中选择x⁽⁰⁾=1, y⁽⁰⁾=1

第三步：根据迭代格式和初始值进行迭代求解。迭代过程如下：

k	x(k)	y(k)	z(x(k),y(k))
0	1.00	1.00	2.7000
1	0.40	0.20	2.0640
2	0.16	0.04	2.0083
3	0.06	0.01	2.0013
4	0.03	0.00	2.0002
5	0.01	0.00	2.0000
6	0.00	0.00	2.0000

结论：可以发现，第6次迭代后，算法收敛。所求最小值为2。

梯度下降算法如何进行收敛判定呢？一个通用的方法是判断相邻两次迭代中，目标值变化量的绝对值是否足够小。具体到上述例题，就是判断|z(x^(k+1),y^(k+1))-z(x^(k),y^(k))|<eps是否成立。eps是一个足够小的正实数，可以根据所需要的精度进行选取，本例中eps=10^-4。

需要注意的是，梯度下降法有可能陷入局部最优解。可以通过多次随机选取初始值以及增加冲量项等方法加以改善，本系列后续文章中可能涉及。

2. 线性回归 (Linear Regression)

线性回归是对自变量和因变量之间关系进行建模的回归分析，回归函数满足如下形式：

　　

我们使用表示数据组数，使用表示数据的维数；使用和表示第组数据的自变量和因变量，使用表示第组数据自变量的第个分量。推导过程基于如下假设：

即每一组数据的误差项相互独立，且均服从均值为0，方差为的正态分布。进而，我们可以得到似然函数：

对数似然函数：

化简，可得：

定义损失函数：

要使似然函数最大，只需使损失函数最小。我们使用损失函数的极小值代替最小值，只需对每一个求偏导数：

最后，使用梯度下降法迭代求解：

其中，为学习率，是一个大于0的常数。学习率应当慎重选择，过大会导致算法不收敛，过小会导致收敛速度缓慢。在实际应用中，可以根据具体情况对学习率进行调节。有资料表明，当  时，上述算法收敛。由于难以高效计算，因此往往使用来代替。

3. 逻辑回归 (Logistic Regression)

当因变量只能在{0,1}中取值时，线性回归模型不再适合，因为极端数据的存在会使阀值的选择变得困难。我们可以使用逻辑回归对数据进行建模。回归函数满足如下形式：

其中：

sigmoid函数具有如下性质：

推导过程基于如下假设：（其实就是假设y⁽ⁱ⁾~Bernoulli(h_θ(x⁽ⁱ⁾))）

考虑到取值的特殊性，上述假设等价于以下形式：

进而得到似然函数：

对数似然函数：

化简，得：

定义损失函数：

要使似然函数最大，只需使损失函数最小。我们使用损失函数的极小值代替最小值，只需对每一个求偏导数：

化简，得：

最后，使用梯度下降法迭代求解：

含义同上。