bzoj 3837 （随机过题法了解一下）

3837: [Pa2013]Filary

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Description

给定n个正整数，从中挑出k个数，满足：存在某一个m(m>=2)，使得这k个数模m的余数相等。

 

求出k的最大值，并求出此时的m。如果有多组解使得k最大，你要在此基础上求出m的最大值。

 

Input

第一行一个正整数n（2<=n<=10^5)。

 

第二行n个正整数w[i](1<=w[i]<=10^7)。保证不会出现所有w[i]都相等的情况。

 

Output

一行两个整数k,m。保证答案存在。

 

Sample Input

6
7 4 10 8 7 1

Sample Output

5 3

HINT

---

听说大家都喜欢随机过题法，于是我切一道（正解是）随机的题目涨涨姿势。

首先此题在k==2 的时候最小是 $ \frac{n}{2} $ 的，以此类推 k==3 时是 $ \frac{n}{3} $等等。

那么最小的情况是大于等于$ \frac{n}{2} $的，这点毋庸置疑。

那么我们随机一个位置pos，假设a[pos]在这k个数中，找最大的k。

那么我们求a[pos]和每个位置i的差值b[i]，然后我们这k个数的 $ gcd \gt 1 $ 这个毋庸置疑。那么我们把每个b[i]分解成一堆质数，并记录每个质数出现的位置数。那么最大的k就是质数出现的最大位置数。k对应的最大的m就是这些位置的数的gcd。

而据cls说这个随机期望是logn的。不过你还是多随机个四五次取最大，这样才保险点。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define clr(x) memset(x,0,sizeof(x))
 #define clr_1(x) memset(x,-1,sizeof(x))
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define LL long long
 #define pb push_back
 #define mod 1000000007
 #define ls(i) (i<<1)
 #define rs(i) (i<<1|1)
 #define mp make_pair
 #define fi first
 #define se second
 using namespace std;
 const int N=1e7+;
 const int M=1e5+;
 int inf[N],prime[N],pre[N],g[N],num[N];
 int tot;
 int gcd(int a,int b)
 {
     int c;
     while(b)
         c=a%b,a=b,b=c;
     return a;
 }
 void init()
 {
     tot=;
     int n=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(!inf[i])
             prime[++tot]=i,pre[i]=tot;
         for(int j=;j<=tot && prime[j]*i<=n;j++)
         {
             inf[prime[j]*i]=;
             pre[prime[j]*i]=j;
             if(i%prime[j]==) break;
         }
     }
     return ;
 }
 int a[M],b[M];
 int main()
 {
     init();
     int n,m,k;
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d",a+i);
     int p=log10(n)+;
     srand(time());
     m=k=;
     while(p--)
     {

         int pos=rand()%n+;
         int tmp=;
         int minm=,mink=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             b[i]=abs(a[i]-a[pos]);
             if(!b[i])
                 tmp++;
         }
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             int t=b[i];
             while(t && t!=)
             {
                 int temp=pre[t];
                 num[temp]++,g[temp]=gcd(g[temp],b[i]);
                 if(mink<num[temp]) mink=num[temp],minm=g[temp];
                 else if(mink==num[temp]) minm=max(g[temp],minm);
                 while(t%prime[temp]==) t/=prime[temp];
             }
         }
         if(mink+tmp>k) k=mink+tmp,m=minm;
         else if(mink+tmp==k) m=max(m,minm);
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             int t=b[i];
             while(t && t!=)
             {
                 int temp=pre[t];
                 num[temp]=,g[temp]=;
                 while(t%prime[temp]==) t/=prime[temp];
             }
         }
     }
     printf("%d %d\n",k,m);
     return ;
 }