【AGC 036C】GP2

https://atcoder.jp/contests/agc036/tasks/agc036_c

题意

　　有一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $x$，初始时全为 $0$。一次操作定义为选择一对正整数 $i,j\space (i≠j)$，将 $x_i$ 加 $2$，将 $x_j$ 加 $1$。求 $m$ 次操作后能出现多少种不同的序列。

　　$n\le 10^6, m\le 5\times 10^5$

题解

　　降智题，其实很简单

　　$m$ 轮操作后的序列 $p$ 必定满足如下条件：

　　　　1. $\sum_{i=0}^{n-1} p_i = 3m$

　　　　2. $\max{(p_0,p_1,...,p_{n-1})} \le 2m$

　　　　3. 序列中最多有 $m$ 个数是奇数

　　但是感觉这样好像就没考虑操作时 $i≠j$ 的约束啊？

　　事实上你会发现那个东西根本不用考虑。

　　显然，条件2 可以排除一些只有存在 $i=j$ 的操作时才会出现的序列，但不能排除所有的。然而我们发现没被排除的序列都可以通过不存在 $i=j$ 的操作的途径得到。具体证明我不太清楚，直觉上这个结论很对……

　　于是问题转化成了求满足条件的序列 $p$ 的数量。

　　忽略条件2，对于剩下两个条件，可以枚举有多少个数是奇数（假设有 $a$ 个），显然有 $a$ 个奇数的方案数是 $C_{n}^{a}$。然后考虑把这些奇数都当成 $1$，我们接下来要计算的就是使 $n$ 个非负偶数的总和为 $3m-a$ 的方案数，这等价于求 $n$ 个非负整数的总和为 $\frac{3m-a}{2}$ 的方案数，用小学的插板法即可，答案是 $C_{(3m-a)/2+n-1}^{n-1}$。用乘法原理把 $C_{n}^{a}$ 和 $C_{(3m-a)/2+n-1}^{n-1}$ 相乘就得到了有 $a$ 个奇数的答案，对于不同的 $a$ 的情况把答案相加即可。

　　然后我们减掉满足条件1、3，不满足条件2 的情况数。不难发现序列 $p$ 中只有一个数会超过 $2m$，因为序列 $p$ 中所有数的和是 $3m$。于是这部分不用容斥了，我们直接钦定第一个数超过了 $2m$，然后把得到的答案乘以 $n$ 即可。

　　现在我们要求满足如下条件的序列 $q$ 的数量：

　　　　1. $\sum_{i=0}^{n-1} q_i = m$

　　　　2. 序列中最多有 $m$ 个数是奇数

　　　　3. $q_0\gt 0$

　　无视条件3，前两个条件跟之前问题的两个条件一样，用之前的求法即可求出。

　　然后再减去满足条件1、2，不满足条件3 的情况数。不满足条件3 意味着 $q_0=0$，且它不是奇数，所以无视 $q_0$ 后，这部分情况数就是求满足前两个条件的长度为 $n-1$ 的序列 $q$ 的数量。也用之前的求法即可。

　　预处理逆元，时间复杂度最低为 $O(n+m)$。