Blocks题解

区间dp

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很好的一道区间dp的题目(别问我怎么想到的)

dp状态

其实这个题最难的地方是这道题目的状态怎么设

  • 首先既然是区间dp,那肯定最先想到的状态是

\(dp[i][j]\)表示消掉区间\([i,j]\)上所有的块的最大分数

  • 突然发现这个状态会受区间外和\(i\)或\(j\)颜色相同的块的影响

    并且转移也并不好转移=_=

  • 所以我们考虑换一种状态。。。

    既然说会受到外面的块的影响?那考虑一种方法来解决

\(dp[i][j][k]\)表示消掉区间\([i,j]\)并且区间\([i,j]\)右边还有k个和j颜色相同的块(除此之外,这个序列没有别的块了),消掉这些所有的块的最大分数

有点抽象,再来感性理解一下:

当前处理的子问题\(dp[i][j][k]\)主体由区间\([i,j]\)组成,然后与\(j\)相同有\(k\)块接在后面,这\(k\)块之间的其他块已经全部消完了

  • 如果实在还不明白,先看转移吧。。。

    然后可以根据我们前面的错误状态自己思考为什么加上这一维

转移

\(dp[i][j][k]\):显然有两种转移

我这里是用记忆化搜索实现的

  1. 消掉j和后面的k块
```
dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],Dfs(i,j-1,0)+(k+1)*(k+1));
```
  1. 对于区间\([i,j]\),中间可能有和\(j\)颜色相同的块,假设位置为\(p\),我们可以选择消掉区间\([p+1,j-1]\)中所有的块使颜色拼起来,当然这是个子问题,所以前面讲了用记忆化搜索实现

    PS: 下面代码的\(nxt[p]\)是预处理的在\(p\)前面第一个和\(p\)颜色相同的块的位置
```
for(int p=nxt[j];p>=i;p=nxt[p])//枚举p
dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],Dfs(i,p,k+1)+Dfs(p+1,j-1,0));
```

汇总

讲完这些整个程序的实现就不难了

那我直接放上代码,不好意思,没有注释

#include<bits/stdc++.h>
#define lst long long
#define ldb double
#define N 250
using namespace std;
const int Inf=1e9;
int read()
{
int s=0,m=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')m=1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
return m?-s:s;
} int n;
int col[N],nxt[N],hd[N];
lst dp[N][N][N];//消掉[i,j]区间和[i,j]右边和j颜色一样的连续k个方块的最大分数 lst Dfs(int i,int j,int k)
{
if(i>j)return 0;
if(dp[i][j][k])return dp[i][j][k];
dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],Dfs(i,j-1,0)+(k+1)*(k+1));
for(int p=nxt[j];p>=i;p=nxt[p])
dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],Dfs(i,p,k+1)+Dfs(p+1,j-1,0));
return dp[i][j][k];
} int main()
{
int T=read();
for(int tt=1;tt<=T;++tt)
{
n=read();
memset(hd,0,sizeof(hd));
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(nxt,0,sizeof(nxt));
for(int i=1;i<=n;++i)
{
col[i]=read();
nxt[i]=hd[col[i]];
hd[col[i]]=i;
}
printf("Case %d: %lld\n",tt,Dfs(1,n,0));
}
return 0;
}

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