TensorFlow学习笔记6-数值计算基础

TensorFlow学习笔记6-数值计算

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本笔记内容为“数值计算的基础知识”。内容主要参考《Deep Learning》中文版。

• \(X\)表示训练集的矩阵，其大小为m行n列，m表示训练集的大小(size)，n表示特征的个数；
• \(y\)表示训练集对应标签，其大小为m行，m表示训练集的大小(size)；
• \(y’\)表示将测试向量\(x\)输入后得到的测试结果；

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上溢与下溢、softmax函数

• 下溢：当某数值很接近于0时，有可能被舍去为0，这时下一步计算(被0除，取0的对数等)会导致溢出的异常。
• 上溢：当数值接近于无穷大，进一步计算可能会导致将这些大值变为非数字。
• softmax函数常用于数值稳定：定义\(softmax(\boldsymbol{x})_ {i} = \frac{\exp(x_ {i})}{\sum_ {j=1}^n exp(x_ {j})}\)，利用\(softmax(z)\)(其中\(\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}-\max_ {i}x_ {i}\))可以解决上溢和下溢的问题。

病态条件

• 条件数指函数相对于输入的微小变化而变化的快慢程度。 考虑函数\(f(\boldsymbol{x})=A^{-1}\boldsymbol{x}\)，当\(A \in R^{n \times n}\)有特征值分解时，
  其条件数为\[\max_ {i,j} |\frac{\lambda_ {i}}{\lambda_ {j}}|\]即最大和最小特征值的模之比。该数很大时，矩阵求逆对输入的误差特别敏感。

基于梯度的优化方法

• 优化指改变\(x\)以最大化/最小化某个函数\(f(x)\)的任务。用最小化\(f(x)\)指代大多数问题。最大化\(f(x)\)就是最小化\(-f(x)\)。

  这里\(f(x)\)为目标函数(最小化时的\(f(x)\)也称为代价函数，损失函数或误差函数等)。当\(f(x)\)取到最小值时，\(x\)的值为\[x^{*}=\arg \min f(x)\]

• 梯度下降
  由于\(f(x+\epsilon)=f(x)+\epsilon f'(x)\)，如求出当前\(x\)对应的\(f'(x)\)，则\(f(x-\epsilon\ sign(f'(x)))\)是比\(f(x)\)小的。

  \(f'(x)=0\)的点称为临界点(或驻点)。驻点一般是局部极大点或局部极小点或鞍点(同时存在更高和更低的相邻点，如\(f(x)=x^3\)的点\(x=0\))。

• 多维的自变量(最常见的情况)

  注意：输入常是多维的\(x\)，输出必须是一维的\(f(\boldsymbol{x})\)(，才能最小化)。

  梯度\(\nabla_ {\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x})\)是一个向量，驻点是梯度向量中所有元素均为0的点。

  为了最小化\(f\)，需要找到使\(f\)下降最快的方向：方向导数\[\min_ {\boldsymbol{u,u^Tu=1}}u^T\nabla_ {x}f(\boldsymbol{x})=\min_ {\boldsymbol{u,u^Tu=1}}||\boldsymbol{u}||_ {2}||\nabla_ {x}f(\boldsymbol{x})||_ {2}\cos \theta
  =\min_ {\boldsymbol{u,u^Tu=1}}||\nabla_ {x}f(\boldsymbol{x})||_ {2}\cos \theta=\min_ {\boldsymbol{u}}\cos \theta\]
  这叫最速下降法，它建议\(x'=x-\epsilon\ \nabla_{x}f(x)\)，其中\(\epsilon\)是学习率，即学习速度，决定了算法里的移动步长。

• 多维\(f\)一阶导数之Jacobian矩阵：对于函数\(f:R^{m}\rightarrow R^{n}\)，其Jacobian矩阵\(J \in R^ {n \times m}\)定义为\(J_ {i,j}=\frac{\partial f_ {i}}{\partial x_ {j}}\)，行变y列变x。

基于二阶导数的优化方法

常用二阶导数去选择最优的步长\(\epsilon\)。

• 一维\(f\)二阶导数之Hessian矩阵：\(H(f)(x)_ {i,j}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}\)

  由于\(\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_j \partial x_i}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}\)，即\(H_ {i,j}=H_ {j,i}\)，Hessian矩阵是实对称矩阵。故可分解为一组实特征值和特征向量的正交基。
  当\(d\)为特征向量时，对应特征值为\(\lambda = d^T Hd\)。
  函数f(x)的二阶泰勒级数展开为：\[f(x)=f(x_ {0})+(x-x_ {0})^ {T}g+\frac{1}{2}(x-x_ {0})^{T}H(x-x_ {0})\]
  其中\(g\)为梯度，代入\(x'=x_ {0}-\epsilon g\)，得到\(f(x_ {0}-\epsilon g)=f(x_ {0})- \epsilon g^{T}g+\frac{1}{2}\epsilon ^2 g^T Hg\)。

  • \(g^T Hg \leq 0\)时，保证了\(f(x_ {0}-\epsilon g)<f(x_ {0})\)，将使\(f\)不断下降。
  • \(g^T Hg > 0\)时，最优步长为 \(\epsilon ^* = \frac{g^T g}{g^T Hg}\)，最坏时，g与H的\(\lambda_{max}\)对应的特征向量方向一致时，最优步长变为\(\frac{1}{\lambda_{max}}\)。
    Hessian矩阵的特征值决定了学习率的量级。

  如果Hessian是正定阵，则方向二阶导数在任意方向都是正的，则该临界点是一个局部极小点。如果Hessian是负定阵，则该临界点时一个局部极大点。如果至少一个负特征值一个正特征值，则是鞍点。

  如果f是正定或近似正定的二次函数，用牛顿法可以更快地跳转到极小值点：\(x^* =x_ {0}-H(f)(x_ {0})^{-1} \nabla_ {x} f(x_ {0})\)

  优化运用最成功的是凸优化，它只对凸函数适用，即Hessian处处半正定的函数，这种函数没有鞍点且全局极小点必然是全局最小点，所以表现很好。

约束优化

• 这里理论较枯燥，直接查看机器学习里的支持向量机一节进行学习，效果拔群。