题解报告：hihoCoder #1050 : 树中的最长路

描述

上回说到，小Ho得到了一棵二叉树玩具，这个玩具是由小球和木棍连接起来的，而在拆拼它的过程中，小Ho发现他不仅仅可以拼凑成一棵二叉树！还可以拼凑成一棵多叉树——好吧，其实就是更为平常的树而已。

但是不管怎么说，小Ho喜爱的玩具又升级换代了，于是他更加爱不释手（其实说起来小球和木棍有什么好玩的是吧= =）。小Ho手中的这棵玩具树现在由N个小球和N-1根木棍拼凑而成，这N个小球都被小Ho标上了不同的数字，并且这些数字都是出于1..N的范围之内，每根木棍都连接着两个不同的小球，并且保证任意两个小球间都不存在两条不同的路径可以互相到达。总而言之，是一个相当好玩的玩具啦！

但是小Hi瞧见小Ho这个样子，觉得他这样沉迷其中并不是一件好事，于是寻思着再找点问题让他来思考思考——不过以小Hi的水准，自然是手到擒来啦！

于是这天食过早饭后，小Hi便对着又拿着树玩具玩的不亦乐乎的小Ho道：“你说你天天玩这个东西，我就问你一个问题，看看你可否知道？”

“不好！”小Ho想都不想的拒绝了。

“那你就继续玩吧，一会回国的时候我不叫上你了~”小Hi严肃道。

“诶！别别别，你说你说，我听着呢。”一向习惯于开启跟随模式的小Ho忍不住了，马上喊道。

小Hi满意的点了点头，随即说道：“这才对嘛，我的问题很简单，就是——你这棵树中哪两个结点之间的距离最长？当然，这里的距离是指从一个结点走到另一个结点经过的木棍数。”。

“啊？”小Ho低头看了看手里的玩具树，困惑了。

提示一：路总有折点，路径也不例外！

输入

每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为一个整数N，意义如前文所述。

每组测试数据的第2~N行，每行分别描述一根木棍，其中第i+1行为两个整数Ai，Bi，表示第i根木棍连接的两个小球的编号。

对于20%的数据，满足N<=10。

对于50%的数据，满足N<=10^3。

对于100%的数据，满足N<=10^5，1<=Ai<=N, 1<=Bi<=N

小Hi的Tip：那些用数组存储树边的记得要开两倍大小哦！

输出

对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示给出的这棵树中距离最远的两个结点之间相隔的距离。

样例输入

8
1 2
1 3
1 4
4 5
3 6
6 7
7 8

样例输出

6
解题思路：题意：有n个点，它们之间有n-1条无向边，形成一棵树，并且保证任意两个点间都不存在两条不同的路径可以互相到达。求这棵树中哪两个结点之间的距离最长？这里的距离是指从一个结点走到另一个结点经过的边数。
求树的直径(最长路)，也就是图中某两点的最长距离。做法：随便以某一个点开始dfs(bfs)找到深度最大的便是直径的某一端点t，然后从这个点t再dfs(bfs)一次就可以找出直径的另一端点s，这样s---t就是树的直径，也就是常说的树上最长路。为什么可以随便以一个点开始就能找到直径的某一端点呢？请看这篇博文(不难理解)：树的直径最长路证明。
AC代码一(129ms)：两次dfs。时间复杂度为0(2E)。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=1e5+;
 vector<int> vec[maxn];
 int n,u,v,maxdep,maxvex;bool vis[maxn];
 void dfs(int x,int dep){
     vis[x]=true;
     int sz=vec[x].size();
     if(sz==&&dep>maxdep){maxdep=dep;maxvex=x;}//找到离当前根节点最远的叶子节点，更新深度值和叶子节点编号
     for(int i=;i<sz;++i)//遍历其邻接点
         if(!vis[vec[x][i]])dfs(vec[x][i],dep+);
 }
 int main(){
     while(~scanf("%d",&n)){
         for(int i=;i<=n;++i)vec[i].clear();
         while(--n){
             scanf("%d%d",&u,&v);
             vec[u].push_back(v);
             vec[v].push_back(u);
         }
         maxdep=,maxvex=;
         memset(vis,false,sizeof(vis));
         dfs(,);//第一次随便以某个点为根节点，找树的直径的某一端点maxvex
         memset(vis,false,sizeof(vis));maxdep=;
         dfs(maxvex,);//第二次从maxvex去找树直径的另一端点
         printf("%d\n",maxdep);
     }
     return ;
 }

AC代码二(89ms)：两次bfs。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=1e6+;
 struct EDGE{int to,next;}edge[maxn<<];
 struct node{
     int u,dep;
     node(int x,int y):u(x),dep(y){}
 };
 int n,x,y,cnt,res,maxdep,maxvex,head[maxn];bool vis[maxn];
 queue<node> que;
 void add_edge(int u,int v){
     edge[cnt].to=v;
     edge[cnt].next=head[u];
     head[u]=cnt++;
 }
 void bfs(int u,int dep,int &maxdep,int &maxvex){
     while(!que.empty())que.pop();
     memset(vis,false,sizeof(vis));
     que.push(node(u,dep));vis[u]=true;
     while(!que.empty()){
         node nod=que.front();que.pop();
         for(int i=head[nod.u];~i;i=edge[i].next){
             int v=edge[i].to;
             if(!vis[v]){
                 vis[v]=true;
                 que.push(node(v,nod.dep+));
             }
         }
         if(maxdep<nod.dep)maxdep=nod.dep,maxvex=nod.u;//取最深
     }
 }
 int main(){
     while(~scanf("%d",&n)){
         memset(head,-,sizeof(head));cnt=;
         while(--n){
             scanf("%d%d",&x,&y);
             add_edge(x,y);
             add_edge(y,x);
         }
         maxdep=,maxvex=;
         bfs(,,maxdep,maxvex);maxdep=0;
         bfs(maxvex,,maxdep,maxvex);
         printf("%d\n",maxdep);
     }
     return ;
 }

AC代码三(79ms)：一次dfs。这里用到了一个树的性质：树的直径的长度一定会是某个点t的最长距离first(t)与次长距离second(t)之和。最后求出max{first(t),second(t)}就可以了。如果用first(t),second(t)分别表示以t为根节点的子树中最长路和次长路的长度，那么只需要求出t的所有子结点的first值，first(t)便是这些first值中的最大值+1，second(t)便是这些first值中的次大值+1。时间复杂度为O(E)。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=1e6+;
 struct node{int to,next;}edge[maxn<<];//无向图双向边，2倍边数
 int n,x,y,cnt,res,head[maxn];
 void add_edge(int u,int v){//链式前向星
     edge[cnt].to=v;
     edge[cnt].next=head[u];//第cnt条边记录上一次起点为u的边的编号
     head[u]=cnt++;//head[u]表示当前以u为起点的第cnt条边
 }
 int dfs(int u,int fa,int &maxdist){
     int Dmax=,Dsec=;//每一个子树的根节点都有一个最长距离和次长距离，因此要重新定义，不然会出错
     for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
         //printf("第%d条边\n",i/2);
         int v=edge[i].to;//取出子树节点
         //cout<<"fa:"<<fa<<"，u:"<<u<<"，v:"<<v<<endl;
         if(v^fa){//避免再次遍历到父节点
             //cout<<"u:"<<u<<' '<<"v:"<<v<<endl;
             int nowd=dfs(v,u,maxdist)+;
             if(nowd>Dmax)Dsec=Dmax,Dmax=nowd;
             else if(nowd>Dsec)Dsec=nowd;
             //求出t的所有子结点的Dmax(first)值，first(t)便是这些first值中的最大值+1，second(t)便是这些first值中的次大值+1.
             //cout<<u<<"--->"<<v<<"、子树的最长深度："<<nowd<<"，第一长："<<Dmax<<"，第二长："<<Dsec<<endl;
         }
     }
     maxdist=max(maxdist,Dmax+Dsec);//更新树的直径：最长+次长
     //cout<<"目前最长的距离"<<maxdist<<endl;
     return Dmax;//返回当前以u为根的子树中的最大深度
 }
 int main(){
     while(~scanf("%d",&n)){
         memset(head,-,sizeof(head));cnt=;
         while(--n){
             scanf("%d%d",&x,&y);
             add_edge(x,y);
             add_edge(y,x);
         }
         int maxlen=;
         dfs(,-,maxlen);
         printf("%d\n",maxlen);
     }
     return ;
 }
 /**
 样例模拟过程如下：
 8
 1 2
 1 3
 1 4
 4 5
 3 6
 6 7
 7 8
 第2条边
 fa:-1，u:1，v:4
 u:1 v:4
 第3条边
 fa:1，u:4，v:5
 u:4 v:5
 第3条边
 fa:4，u:5，v:4
 目前最长的距离0
 4--->5、子树的最长深度：1，第一长：1，第二长：0
 第2条边
 fa:1，u:4，v:1
 目前最长的距离1
 1--->4、子树的最长深度：2，第一长：2，第二长：0
 第1条边
 fa:-1，u:1，v:3
 u:1 v:3
 第4条边
 fa:1，u:3，v:6
 u:3 v:6
 第5条边
 fa:3，u:6，v:7
 u:6 v:7
 第6条边
 fa:6，u:7，v:8
 u:7 v:8
 第6条边
 fa:7，u:8，v:7
 目前最长的距离1
 7--->8、子树的最长深度：1，第一长：1，第二长：0
 第5条边
 fa:6，u:7，v:6
 目前最长的距离1
 6--->7、子树的最长深度：2，第一长：2，第二长：0
 第4条边
 fa:3，u:6，v:3
 目前最长的距离2
 3--->6、子树的最长深度：3，第一长：3，第二长：0
 第1条边
 fa:1，u:3，v:1
 目前最长的距离3
 1--->3、子树的最长深度：4，第一长：4，第二长：2
 第0条边
 fa:-1，u:1，v:2
 u:1 v:2
 第0条边
 fa:1，u:2，v:1
 目前最长的距离3
 1--->2、子树的最长深度：1，第一长：4，第二长：2
 目前最长的距离6
 6
 **/