数据结构之区间K大数

求区间的问题有很多类，虽然前人有很多讲解了；

但是我在这里在普及一下，算是自己的一种复习吧。

1.静态询问一个区间的的第k大数，比如询问[l,r] k大数。虽然主席树可以处理，但是这类问题应该是划分树最合适的地方。

划分树---

实际上是利用大概一种类似快排的思想 来求解第K大数。

建树

建树的过程比较简单，对于区间[l,r]，首先通过对原数组的排序找到这个区间的中位数a[mid]，小于a[mid]的数划入他的左子树[l,mid-1]，大于它的划入右子树[mid,r]。同时，对于第i个数，记录在[l,i]区间内有多少数被划入左子树。最后，对它的左子树区间[l,mid-1]和右子树区间[mid,r]递归的继续建树就可以了。
建树的时候要注意对于被分到同一子树的元素，元素间的相对位置不能改变。
                  查找

查找的过程中主要问题就是确定将要查找的区间。这个问题有些麻烦。

先看一下查找过程tree_find.他的定义如下：
查找深度为h，在大区间[st,ed]中找小区间[s,e]中的第k元素。
再看看他是如何工作的。我们的想法是，先判断[s,e]中第k元素在[st,ed]的哪个子树中，然后找出对应的小区间和k，递归的进行查找，直到小区间的s=e为止。
那如何解决这个问题呢？这时候前面记录的进入左子树的元素个数就派上用场了。通过之前的记录可以知道，在区间[st,s-1]中有el[h,s-1]进入左子树，记它为l。同理区间[st,e]中有el[h,e]个数进去左子树，记它为r。所以，我们知道区间小区间[s,e]中有(r-l)个数进入左子树。那么如果(r-l)>=k，那么就在左子树中继续查找，否则就在右子树中继续查找。
接着解决查找的小区间的问题。
如果接下来要查找的是左子树，那么小区间应该是[st+([st,s-1]区间进入左子树的个数),st+([st,e]区间内进入左子树的个数)-1]，即区间[st+l,st+r-1]。显然，这里k不用变。
如果接下来要查找的是右子树，那么小区间应该是[mid+([st,s-1]区间中进入右子树的个数),mid+([st,e]区间进入右子树的个数)-1]。即区间[mid+(s-st-l),mid+(e-st-r)]。显然，这里k要减去区间里已经进入左子树的个数，即k变为k-(r-l)。
于是递归继续查找直到s=e即可。

来自百度百科

比较局限

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 #define N 100005
 int a[N], as[N];//原数组，排序后数组
 int n, m;
 int sum[][N];//记录第i层的1~j划分到左子树的元素个数(包括j)
 int tree[][N];//记录第i层元素序列

 void build(int c, int l, int r){
     int i, mid = (l + r) >> , lm = mid - l + , lp = l, rp = mid + ;
     for (i = l; i <= mid; i++){
         if (as[i] < as[mid]){
             lm--;//先假设左边的(mid - l + 1)个数都等于as[mid],然后把实际上小于as[mid]的减去
         }
     }
     for (i = l; i <= r; i++){
         if (i == l){
             sum[c][i] = ;//sum[i]表示[l, i]内有多少个数分到左边，用DP来维护
         }else{
             sum[c][i] = sum[c][i - ];
         }
         if (tree[c][i] == as[mid]){
             if (lm){
                 lm--;
                 sum[c][i]++;
                 tree[c + ][lp++] = tree[c][i];
             }else
                 tree[c + ][rp++] = tree[c][i];
         } else if (tree[c][i] < as[mid]){
             sum[c][i]++;
             tree[c + ][lp++] = tree[c][i];
         } else{
             tree[c + ][rp++] = tree[c][i];
         }
     }
     if (l == r)return;
     build(c + , l, mid);
     build(c + , mid + , r);
 }

 int query(int c, int l, int r, int ql, int qr, int k){
     int s;//[l, ql)内将被划分到左子树的元素数目
     int ss;//[ql, qr]内将被划分到左子树的元素数目
     int mid = (l + r) >> ;
     if (l == r){
         return tree[c][l];
     }
     if (l == ql){//这里要特殊处理！
     s = ;
     ss = sum[c][qr];
     }else{
         s = sum[c][ql - ];
         ss = sum[c][qr] - s;
     }//假设要在区间[l,r]中查找第k大元素，t为当前节点，lch，rch为左右孩子，left，mid为节点t左边界和中间点。
     if (k <= ss){//sum[r]-sum[l-1]>=k，查找lch[t],区间对应为[ left+sum[l-1], left+sum[r]-1 ]
         return query(c + , l, mid, l + s, l + s + ss - , k);
     }else{//sum[r]-sum[l-1]<k,查找rch[t]，区间对应为[ mid+1+l-left-sum[l-1], mid+1+r-left-sum[r] ]
         return query(c + , mid + , r, mid - l +  + ql - s, mid - l +  + qr - s - ss,k - ss);
     }
 }

 int main(){
     int i, j, k;
     while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
         for (i = ; i <= n; i++){
             scanf("%d", &a[i]);
             tree[][i] = as[i] = a[i];
         }
         sort(as + , as +  + n);
         build(, , n);
         while(m--){
             scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);// i,j分别为区间起始点，k为该区间第k大的数。
             printf("%d\n", query(, , n, i, j, k));
         }
     }
     return ;
 }